Activités de Recherche en quelques lignes
La version .pdf de cette page
Mes recherches
portent principalement sur l’analyse d’équations de la
physique statistique hors équilibre qui proviennent de
deux domaines
distincts: les équations de la théorie
cinétique des gaz (équations de Boltzmann classiques et
quantiques, de Vlasov-Poisson, de
Fokker-Planck) servant à décrire l’évolution de
gaz de particules
en mouvement d’une part, et les équations dites de
coagulation-fragmentation (équations de Smoluchowski, de
Becker-Döring, de Lifshitz-Slyozov) servant à
décrire l’évolution de la
taille d’agglomérats d’autre part. Un autre axe de recherche est
la
modélisation et l’analyse des processus "du vivant" en biologie
et
en écologie.
Mes travaux ont porté
sur des questions d’existence de
solutions et de convergence de schémas numériques pour
les équations cinétiques et s’orientent
actuellement vers l’analyse
qualitative de comportements singuliers des solutions des
modèles
ci-dessus cités.
Mes travaux peuvent
être regroupés en six thèmes
de recherches
Thème
1 - Analyse
Théorique et Numérique de l'équation de Boltzmann
Dans [1], [2], [3],
[4], [5] et [19] nous démontrons des résultats
d’existence, d’unicité, de conservation de l’ énergie et
de
convergence de schémas de discrétisation pour
l’équation de
Boltzmann et pour sa caricature, l’équation BGK.
Les outils techniques
que nous développons sont, entre autres, un lemme de Povzner
"précisé" et des lemmes de compacité des moyennes
en vitesse pour des
équations de transport discrètes.
Mots
clefs: existence, unicité,
convergence de schémas de discrétisation, lemmes de
compacité des
moyennes en vitesse, lemme de Povzner, dispersion.
Thème 2 - Equations cinétiques posées dans un
domaine
Dans [6], [7],
[10] et [20] nous démontrons des théorèmes de
trace pour les
solutions d’équations de VlasovFokker-Planck avec champ de force
de régularité Sobolev, des résultats d’unicit
é pour des équations de
Vlasov linéaire avec condition de réflexions locales et
non-locales
ainsi que des résultats d’existence de solutions
renormalisées pour
les équations de Boltzmann et de Vlasov-Poisson avec
conditions de réflexions de Maxwell.
La théorie de trace
repose sur des techniques de
renormalisation introduites par DiPerna et Lions pour les
équations de
transport. Les résultats d’existence s’en déduisent en
utilisant de
plus des extensions du Biting Lemma et du Lemme de Dunford-Pettis.
Mots
clefs: théorèmes de trace, convergence
renormalisée, Biting lemma,
lemme de Dunford-Pettis en la variable de vitesse, existence, condition
de réflexions de Maxwell, condition de réflexions
diffuse-élastiques.
Thème 3 - Equations
de Boltzmann pour les gaz de particules
Les principaux
résultats obtenus dans [9], [13], [17] et [18] sont la
résolution du problème stationnaire, et des
théorèmes d’existence, de
retour asymptotique en temps grand vers l’état
d’équilibre, de limite
de type Fokker-Planck pour une équation de Boltzmann
Quantique pour
les gaz de Bosons. Nous montrons en particulier que la condensation de
Bose-Einstein (une partie de la fonction de distribution des
énergies
des particules est representée par une masse de Dirac en
l’origine) ne
se produit pas en temps fini, mais a lieu asymptotiquement en temps
grand si la masse initiale est supérieure à une valeure
critique. Une
étude du problème de minimisation de l’entropie et de la
param
étrisation du noyau intégral dans le cadre le plus
général
(quantique et/ou relativiste) y est également
présent ée.
Mots clefs:
existence, comportement asymptotique, condensation de Bose-Eisntein,
limite Kompaneets, description des états d’entropie minimale.
Thème 4. Equations de Coagulation-fragmentation.
Dans [11], [12], [14], [15], [16], [22], [23], [24], [25], [29], [30]
et [32] nous obtenons des résultas d’existence, de passages de
modèles discrets à des modèles continus (et de
convergence de schémas numériques), de comportements
asymptotiques en temps grand, de conservation de la masse pour des
équations de coagulation-fragmentation. Nous donnons
également des critères d’occurence de la
gélification (la solution perd de la masse en temps fini) et
nous estimons le ”profil” de la solution à l’instant de
gélification.
Les résultats
reposent essentiellement sur l’obtention d’estimations nouvelles sur
les solutions (contrôle de
l’équi-intégrabilité, contrôle de moments)
et sur la mise en œuvre de techniques de compacités faible et
forte dans L^1.
Mots clefs: existence, unicité, conservation de la masse,
gélification, des modèles discrets aux modèles
continus, comportement asymptotique.
Thème 5. Dynamiques de populations structurées.
Dans [21] et [27] nous obtenons des résultats d’existence
d’états stationnaires et de solutions périodiques, et des
résultats de stabilité pour des modèles de
dynamiques de populations structurées par l’âge ou par la
maturation/vitesse de maturation.
Mots clefs: solutions stationnaires,
stabilité, solutions oscillantes.
Thème 6. Collisions inélastiques.
Dans [26], [28] et [31] nous obtenons des résultas d’existence,
d’unicité, de conservation de la masse et énergie et de
comportements asymptotiques en temps grand des équations de type
Boltzmann pour des particules subissant des chocs inélastiques.
Dans [26] un modèle de coalescence pour un gaz de particules
identifiées par le couple masse-impulsion (m, p) est
étudié.
Mots clefs: existence, unicité,
conservations, comportement asymptotique.
Page
des Activités de Recherche
Page
d'Accueil / Home Page