Permanents : V. Arnold, I. Catto, A. Chambolle, G. Chavent, J. Dolbeault, M.J. Esteban, C. Grandmont, P. Le Tallec (97-99), P.-L. Lions, N. Masmoudi, E. Séré, R. Tahraoui.
Thèses et Habilitations : P. Bernard, M. Bouguecha, B. Desjardins, J. Dolbeault, J. Giacomoni, C. Le Bris, N. Masmoudi, J. 0. Moussafir, E. Paturel, C. Villani.
L'activité du groupe Analyse
non-linéaire est très variée, tant du point
de vue du type des équations traitées ou des méthodes
utilisées pour les étudier, que du point de vue
des domaines d'application. On peut ainsi recenser des problèmes
de la mécanique des fluides, de la mécanique quantique,
de la mécanique des solides, l'étude des phénomènes
diffusifs et cinétiques, l'étude de problèmes
inverses ou d'optimisation, etc. Voici ci-dessous une description
sommaire des résultats les plus significatifs obtenus durant
les quatre dernières années.
I. ANALYSE NON-LINEAIRE, METHODES GEOMETRIQUES ET TOPOLOGIQUES
II. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DE LA PHYSIQUE
I. ANALYSE NON-LINEAIRE,
METHODES GEOMETRIQUES ET TOPOLOGIQUES
I.1) Equations aux dérivées partielles stochastiques et solutions de viscosité.
P.-L. Lions, en collaboration avec P.E. Souganidis, a introduit la notion de solutions de viscosité stochastiques pour la résolution complète d'une classe générale d'équations aux dérivées partielles complètement non-linéaires stochastiques scalaires, qui a ensuite été appliquée en théorie du contrôle, à la propagation de fronts et interfaces, etc (cinq notes aux Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Paris).I.2) Calcul des variations et optimisation. (M. Bouguecha (thésard), A. Chambolle, R. Tahraoui)
I.2a: Optimisation de forme : il s'agit de calculer la forme d'un système mécanique qui minimise une énergie, somme d'un terme d'élasticité linéaire (de volume) et d'un terme de tension superficielle (de surface). L'étude de la stabilité (problème de l'instabilité de Grinfeld) grâce à l'énergie approchée, est en cours (A. Chambolle, en collaboration avec E. Bonnetier).I.2b: Calcul des variations pour des fonctionnelles de type Mumford et Shah. Alberti, Bouchitté et Dal Maso ont proposé récemment des conditions suffisantes de minimalité (en adaptant la méthode des calibrations des problèmes de surfaces minimales, ou, selon un autre point de vue, la méthode des champs de Weierstrass). A. Chambolle a montré qu'en dimension 1, en un certain sens, encore assez faible, ces conditions sont également nécessaires.
I.2c: Problèmes variationnels non convexes. D'une part, de nouvelles conditions d'optimalité, assez fines, exprimées en termes de mesures de Young, permettent de prouver des résultats d'existence (R. Tahraoui, en collaboration avec G. Aubert). Basée sur une extension des inégalités de Hardy-Littlewood, une méthode nouvelle permet d'autre part de montrer des résultats d'existence d'un minimiseur pour des fonctionnelles non convexes, en présence de contraintes vraiment générales (R. Tahraoui, en collaboration avec P. Cardaliaguet).
I.3) Propriétés qualitatives des E.D.P. elliptiques non-linéaires (J. Dolbeault, M.J. Esteban, J. Giacomoni (thésard), R. Tahraoui)I.3a: Existence et branches de solutions pour des problèmes elliptiques dégénérés ou non compacts: il s'agit de l'étude complète de la structure de l'ensemble des solutions positives de problèmes elliptiques non-linéaires et non compacts, la non-compacité pouvant provenir d'une dégénérescence spatiale de l'opérateur ou bien de la non-bornitude de l'ouvert où l'on travaille. Cette étude a été menée pour des non-linéarités très variées, aussi bien sous-linéaires que sur-linéaires (M.J. Esteban, J. Giacomoni).
I.3b: Existence globale ou phénomènes d'explosion en temps fini pour des problèmes paraboliques dégénérés: dans le cas d'équations de diffusion non-linéaires avec dégénérescence spatiale, des résultats d'existence globale aussi bien que d'explosion en temps fini ont été trouvés suivant la non-linéarité et la dimension spatiale considérées (J. Giacomoni, en collaboration avec J. Aguirre).
I.3c: Symétries des solutions minimales du problème de Skyrme. M. Bouguecha a fait dans sa thèse une étude détaillée de la symétrie des solutions de ce modèle utilisé en physique des particules et prouvé des résultats de symétrie (partiels) pour les skyrmions de degré 1. Il a également démontré des propriétés de symétrie très générales pour les solutions de problèmes de minimisation auxquelles ils est impossible d'appliquer des méthodes de symétrisation, étendant ainsi les résultats d'O. Lopes.I.3d: Résultats de symétrie pour des équations semi-linéaires elliptiques. J. Dolbeault (en collaboration avec P. Felmer) a analysé les cas limites d'application des méthodes d'hyperplans mobiles, mettant en relation les propriétés d'unicité, de décroissance des solutions radiales, et de symétrie. Des résultats de symétrie locale (et de monotonie locale) ont été établis pour des non-linéarités non-Lipschitz par une méthode locale d'hyperplans mobiles et un argument de continuation unique (optimal en dimension 2). Contrairement à la symétrisation, la méthode s'étend aux équations complètement non linéaires, à des domaines non bornés et caractérise les solutions à symétrie locale dans des domaines autres que des boules.
I.3e: Un nouveau principe du maximum et de comparaison des solutions de deux opérateurs elliptiques. L'accent a été particulièrement mis sur les applications pour lesquelles les méthodes existantes sont inopérantes: localisation de points critiques, positivité des solutions, etc (R. Tahraoui).
I.3f: Classification des solutions singulières radiales du problème de Brézis et Nirenberg: ce problème possède des branches de solutions régulières et une infinité non dénombrable de solutions (en général au sens des distributions dans la boule) singulières à l'origine, dont on donne une description complète dans les cas sous-critique, critique et sur-critique (J. Dolbeault et M.J. Esteban, en collaboration avec R. Benguria).
I.3g: Problèmes de frontières libres. La limite isolante pour l'équation de Poisson-Boltzmann des semi-conducteurs est une limite singulière qui possède deux régimes asymptotiques, l'un correspondant à l'électroneutralité locale, et l'autre à l'apparition d'une zone de déplétion donnée par un problème de double obstacle que l'on étudie par des méthodes de comparaison (J. Dolbeault, en collaboration avec L. Caffarelli, P. Markowich et C. Schmeiser).Une approche beaucoup moins classique, basée sur une estimation de la courbure des lignes de niveau, a été utilisée pour montrer la convexité de la zone de contact dans un problème à simple obstacle posé dans un domaine convexe en dimension 2. Cette approche fournit aussi une estimation de la constante de Lipschitz de la solution (J. Dolbeault, en collaboration avec R. Monneau).
I.4) Théorie des points critiques pour l'étude des systèmes Hamiltoniens (P. Bernard et E. Paturel (thésards), E. Séré)
Il s'agit essentiellement de la recherche de solutions périodiques et de solutions homoclines par des méthodes variationnelles. K. Cieliebak et E. Séré ont adapté une méthode de recollement de solutions due à E. Séré au cas non convexe, sur des fibrés cotangents de variétés. Ils ont ainsi construit une dynamique symbolique sous des hypothèses très générales. E. Paturel a prouvé un résultat de multiplicité pour les orbites homoclines de systèmes lagrangiens autonomes. Il a également résolu variationnellement une conjecture sur l'équation de Dirac non linéaire dans un espace de Schwartzchild. Récemment, P. Bernard a obtenu les premiers résultats sur la difficile question des orbites homoclines à des solutions non constantes de systèmes hamiltoniens autonomes. Enfin, E. Séré (en collaboration avec C. Carminati et K. Tanaka) a montré l'existence de solutions périodiques sur des surface d'énergie d'Hamiltoniens singuliers non convexes.
I.5) Géométrie, topologie et physique mathématique.(V.I. Arnold, J. O. Moussafir (thés.))
La théorie topologique des applications lagrangiennes et legendriennes en géométrie symplectique et de contact, c'est--à--dire en théorie des fronts d'ondes et des caustiques est un résultat très général de géométrie, de la théorie des équations différentielles et de la physique. C'est maintenant une vaste théorie aux applications nombreuses en physique, en théorie de l'optimisation, etc.
La topologie projective: l'étude de la topologie des fonctions trigonométriques et l'étude des courbes planes et sphériques (calcul des serpents) sont liées.
Création de la théorie des trinités mathématiques. Cette théorie met en rapport la monodromie d'un recouvrement dans la version réelle avec la connexion et sa courbure dans la version complexe et avec quelque hypercourbure d'une hyperconnexion dans le cas quaternionique. Il y a une relation avec la répulsion des valeurs propres de Von Neumann-Wigner dans le cas réel, avec la théorie de phase de Berry et l'effet quantique de Hall dans le cas complexe et avec la géométrie de la stratification des formes hyperhermitiennes dans le cas quaternionique.
La combinatoire des stratifications des formes quadratiques, hermitiennes et hyperhermitiennes est très intéressante en elle-même. Les théories topologiques résultantes (développées par les étudiants d'Arnold, B. Shapiro et M. Shapiro en Suède et en Israel) sont utiles même pour la théorie du contrôle donnant la description des intersections des cellules de Schubert).
Autres travaux:
-Classification les singularités des germes méromorphes, par la découverte de leur rapport avec les algèbres de Lie simples et les singularités des courbes dans les espaces de dimensions supérieures.
-Continuation de l'étude des applications de la théorie de Sturm à la topologie symplectique et de contact de la propagation des fronts d'onde ainsi qu'à la topologie des lignes asymptotiques et paraboliques des surfaces dans l'espace projectif R P3.
II. EQUATIONS
AUX DERIVEES PARTIELLES DE LA PHYSIQUE
II.1) Mécanique des fluides. (M.J. Esteban, C. Grandmont, P. Le Tallec, P.-L. Lions, N. Masmoudi)
L'activité du groupe peut être divisée en deux parties comprenant d'un côté, les travaux de P.-L.Lions et N. Masmoudi sur les équations de Navier-Stokes compressibles et les limites compressible-incompressible, et de l'autre, les résultats sur les interactions fluide-structure qui ont été obtenus par C. Grandmont (en collaboration avec Y. Maday) et par M. J. Esteban (en collaboration avec B. Desjardins). Plus précisément,
II.1a: Résolution globale des équations de Navier-Stokes compressibles. Un travail profond a été entrepris par P.-L. Lions afin de démontrer des résultats d'existence de solutions faibles pour les fluides compressibles, à la manière de Leray pour les fluides incompressibles, ainsi que pour améliorer de nombreuses estimations et résultats techniques permettant de donner une présentation cohérente de cet aspect de la Mécanique des fluides (2 livres).
II.1b: Convergence des solutions des équations de Navier-Stokes compressibles vers les équations de Navier-Stokes incompressibles lorsque le nombre de Mach tend vers 0 (P.-L. Lions et N. Masmoudi).
II.1c: Unicité pour les équations de Navier-Stokes incompressibles (P.-L. Lions et N. Masmoudi).
II.1d: Etude des couches limites pour les fluides tournant à grande vitesse et pour la limite non visqueuse (équations d'Euler) des équations de Navier-Stokes dans des domaines avec bord (N. Masmoudi).
II.1e: Résultats d'existence de solutions faibles pour des problèmes de couplage fluide-structure dans le cas de fluides incompressibles ou compressibles isentropiques et de solides rigides plongés dans le fluide. L'introduction d'une nouvelle notion de solution faible a été nécessaire (M.J. Esteban, en collaboration avec B. Desjardins). Des résultats ont aussi été obtenus dans le cas des solides gouvernés par l'élasticité linéarisée avec un nombre fini de modes de déformation(B. Desjardins, M.J. Esteban, C. Grandmont et P. Le Tallec).
II.1f: Existence et unicité en temps petit d'une solution régulière instationnaire d'un problème fluide-structure, dans le cas où l'on considère plusieurs solides rigides immergés dans un fluide tridimensionel régi par les équations de Navier-Stokes. Actuellement, C. Grandmont travaille à l'extension de ces résultats pour des structures déformables, dont les déformations s'écrivent comme combinaison linéaire d'un nombre fini de modes (en collaboration avec Y. Maday et P. Métier, Paris VI).II.1g: Existence de solutions stationnaires régulières pour des problèmes pour des problèmes fluide-structure élastique: équations de Stokes bidimensionnelles couplées à une poutre monodimensionnelle et équations de Stokes ou de Navier-Stokes tridimensionnelles couplées aux équations de l'élasticité tridimensionnelle (matériau de Saint Venant Kirchoff), sous l'hypothèse de forces extérieures petites (C. Grandmont).
II.2) Mécanique quantique. (I. Catto, J. Dolbeault, M.J. Esteban, P.-L. Lions, E. Paturel (thésard), E. Séré, M. Vanbreugel)
Sous cette rubrique sont réunies deux directions de recherche voisines, mais néanmoins fondamentalement différentes, aussi bien du point de vue de la méthode que du contexte physique dans lequel elles se situent: l'étude des limites thermodynamiques pour différents modèles moléculaires non-relativistes (microscopiques) bien établis permettant de dériver des modèles de cristaux ou de quasi-cristaux (I. Catto et P.-L. Lions, en collaboration avec C. Le Bris, un livre et de nombreux articles), et l'étude des modèles atomiques et moléculaires en Mécanique quantique relativiste, basés sur l'utilisation de l'opérateur de Dirac (J. Dolbeault, M.J. Esteban et E. Séré). Plus précisément, on peut noter les résultats suivants:II.2a: Identification de la limite thermodynamique de modèles donnés par la Théorie de la fonctionnelle densité, de type Thomas-Fermi-Von Weiszäcker. Le cristal est construit à partir d'une molécule dont on fixe les noyaux aux noeuds d'un réseau régulier. En faisant tendre le nombre de noyaux vers l'infini, on montre que l'énergie fondamentale devient proportionnelle au volume et on identifie le modèle quantique qui décrit la phase cristalline.
II.2b: Passage à la limite thermodynamique pour les modèles de Hartree et de Hartree-Fock restreint, identification et résolution du problème périodique limite.
II.2c: Etude du problème périodique donné formellement par la limite thermodynamique des équations de Hartree-Fock (la justification du passage à la limite est encore un problème ouvert).
II.2d: Existence de solutions pour les équations de Dirac-Fock (Chimie quantique relativiste), sous des hypothèses permettant en particulier de considérer tous les atomes comportant des noyaux stables connus (M.J. Esteban et E. Séré, E. Paturel).
II.2e: Caractérisations variationnelles des valeurs propres d'opérateurs à gaps dans le spectre continu et application à l'opérateur de Dirac (J. Dolbeault, M.J. Esteban et E. Séré).
II.3) Equations cinétiques. Problèmes d'évolution et comportement asymptotique. (P.-L. Lions, J. Dolbeault, C. Villani (thésard))II.3a: Equation de Boltzmann. La limite diffusive d'une équation de Boltzmann à vitesses discrètes a été étudiée par P.-L. Lions (en collaboration avec G. Toscani), et des résultats sur les
effets régularisants du noyau de Boltzmann sans troncature angulaire ont été obtenus (P.-L. Lions). Ces résultats ont été repris et légèrement améliorés dans la thèse de C. Villani, qui s'est intéressé à l'étude du problème de Cauchy tant pour l'équation de Boltzmann que pour l'équation de Landau dans le cas homogène essentiellement), aux propriétés de régularité des solutions, ainsi qu'à l'asymptotique des collisions rasantes, qui permet de passer de la première équation à la seconde. Parallèlement aux travaux de T. Goudon, C. Villani a introduit de nouvelles notions de solutions faibles permettant de traiter le cas des potentiels mous sans troncature angulaire et a obtenu (en collaboration avec L. Desvillettes et G. Toscani) des résultats très fins de retour à l'équilibre basés sur des techniques de dissipation d'entropie. Dans le cas inhomogène, il a étudié (partiellement avec P.-L. Lions) de nouvelles renormalisations.II.3b: Régularité optimale des moyennes en vitesses. P.-L. Lions a démontré que les exposants obtenus antérieurement par R.J. DiPerna, lui-même et Y. Meyer étaient optimaux.
II.3c: Limite hydrodynamique des équations de Boltzmann vers les équations de Navier-Stokes dans le cas dépendant du temps (sous les mêmes hypothèses que C. Bardos, F. Golse et D. Levermore dans le cas indépendant du temps) et vers les équations de Stokes (sans hypothèse supplémentaire) (P.-L. Lions et N. Masmoudi).
II.3d: Des changements d'échelles dépendant du temps mais préservant l'invariance galiléen- ne permettent d'extraire le comportement asymptotique d'équations cinétiques comme le système de Vlasov-Poisson, d'équations usuelles de la mécanique des fluides ou de la mécanique quantique (pour l'équation de Schrödinger non-linéaire critique, on retrouve ainsi les propriétés d'invariance pseudo-conforme). Le changement d'échelle permet la construction d'une fonctionnelle de Lyapunov qui gouverne la dispersion en temps grand (J. Dolbeault, en collaboration avec G. Rein). La méthode des changements d'échelles dépendant du temps est très générale. Elle permets des estimations très fines (système de Vlasov-Poisson en dimension 2), s'applique aussi à des équations cinétiques avec collisions comme l'équation de Boltzmann, ou même à des problèmes paraboliques non-linéaires.
II.3e: A la suite d'un travail en collaboration avec F. Bouchut, J. Dolbeault a réécrit les conditions optimales pour qu'une solution des équations de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck soient confinée. L'outil fondamental est une entropie relative (ici une énergie libre) qui contrôle comportement en temps grand. Cette notion d'entropie relative permet aussi l'étude de l'irréversibilité pour des systèmes non-dissipatifs mais avec des conditions au bord de type diffusif, comme le système de Vlasov-Poisson avec conditions d'injection (J. Dolbeault, en collaboration avec N. Ben Abdallah).
II.3f: Inégalités de Sobolev généralisées et asymptotiques intermédiaires pour dans L1 pour les équations des milieux poreux ou à diffusion rapide, systèmes de dérive-diffusion couplés à l'équation de Poisson. Il s'agit de donner les taux de convergence optimaux vers les asymptotiques intermédiaires grâce à une entropie relative contrôlant la convergence dans L1 et à une famille d'inégalités qui contient entre autres les inégalités logarithmiques de Sobolev de Gross (J. Dolbeault, en collaboration avec M. Del Pino). La méthode d'entropie relative permet aussi de traiter des systèmes de dérive-diffusion couplés à l'équation de Poisson (J. Dolbeault, en collaboration avec P. Biler et P. Markowich).
III. ANALYSE
NUMERIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE
III.1) Décomposition de domaines et interactions fluide-structure
III.1a: Etude des méthodes de calcul par décomposition de domaines et implémentation sur machines parallèles. Ce travail a débouché sur des méthodes de calcul opérationnelles permettant de résoudre des problèmes de très grande taille en élasticité non-linéaire tridimensionnelle, en théorie des coques, ou en calcul d'écoulements, dans des cas à grand nombre de sous-domaines ou de problèmes où les maillages des sous-domaines ne se recollent pas. Dans ce dernier cadre, on est en fait conduits à élaborer et analyser diverses estimations d'erreurs a posteriori pour des structures fortement hétérogènes, permettant de qualifier le résultat de calculs de structures industrielles, et dont l'application conduit souvent à raffiner les maillages de calcul de manière localisée par sous-domaines (P. Le Tallec).III.1b: Liens et recollement entre lois de paroi, modèles cinétiques et modèles hydrodynamiques de gaz. Un effort tout particulier est fait sur le développement de nouvelles conditions aux limites prenant en compte les rugosités de paroi en régime hydrodynamique ou la structure cinétique des équations en régime raréfié (P. Le Tallec).
III.1c: Modélisation numérique de problèmes d'interactions fluide-structure en grands déplacements: développement et analyse de modèles de coques adaptés, développement et analyse de conditions d'interface, traduction numérique des conditions de compatibilité mécanique, mise au point et analyse d'algorithmes stables et robustes. Ce travail a de nombreuses applications, essentiellement en aéronautique et en biomécanique (écoulements sanguins en tuyaux déformables, modélisation du foie humain) (P. Le Tallec).
III.1d: Calcul d'interactions fluide-structure, étude des schémas de discrétisation en temps et en espace. (i) Discrétisation en temps: étude, sur un modèle non linéaire monodimensionnel, de différentes stratégies de couplage en temps des équations (schémas de couplage implicites, explicites, étude de stabilité, consistance, convergence) (C. Grandmont, en collaboration avec V. Guimet et Y. Maday). (ii) Discrétisation en espace. Raccordement de maillage incompatibles : les maillages fluide et structure peuvent être incompatibles, il faut donc savoir comment imposer de manière faible les conditions de couplage pour obtenir des schémas optimaux. Des estimations d'erreur sur un problème bidimensionnel discrétisé avec la méthode des éléments finis ont été obtenus pour plusieurs type de raccordement: raccord ponctuel (interpolation) et raccord intégral (méthode des joints) à l'interface, pour plusieurs types équations modèles. Dans le cas du raccord ponctuel, l'optimalité des estimations est liée à la régularité du déplacement de la structure (C. Grandmont, en collaboration avec Y. Maday).
III.2) Optimisation
III.2a: Conception optimale en mécanique non-linéaire. Il s'agit de développer des algorithmes de conception optimale de forme qui soient bien adaptées aux problèmes de l'élasticité non-linéaire ou de la mécanique des fluides au niveau de la discrétisation (utilisation de modèles tridimensionnels, de modèles de coques géométriquement exactes, d'équations de Navier-Stokes parabolisées) et au niveau de l'algorithme d'optimisation (différentiation automatique, calcul de l'état adjoint, utilisation d'algorithmes de point intérieur à convergence quadratique) (P. Le Tallec).III.2b: Optimisation de forme. Mise au point d'une méthode numérique d'optimisation d'une structure (plus précisément, de sa compliance, c'est-à-dire de sa rigidité sous un chargement donné) soumise à une force de pression. La difficulté vient du fait que le chargement dépend de la forme inconnue (A. Chambolle, en collaboration avec B. Bourdin).
III.3) Problèmes inverses non-linéaires. (G. Chavent)
Les méthodes géométriques développées lors d'études antérieures ont permis de mieux comprendre comment fonctionnaient - ou ne fonctionnaient pas - les méthodes de régularisation usuelles, lorsqu'on les appliquait telles quelles à des problèmes non-linéaires. On a ainsi pu définir une classe de problèmes faiblement non-linéaires pour laquelle les méthodes linéaires se généralisent sans problème, et proposer pour un certain type de problèmes fortement non-linéaires une méthode de régularisation dans l'espace d'état qui permet de se ramener à une suite de problèmes bien posés (collaboration avec K. Kunisch). Les sous-thèmes principaux sont:III.3a: Estimation du coefficient de diffusion dans une équation elliptique bidimensionnelle: ces méthodes géométriques ont permis d'analyser rigoureusement la façon dont la sensibilité et la non-linéarité varient en fonction de l'échelle à laquelle on cherche à estimer le coefficient de diffusion. Cette analyse suggère de nouveaux termes de régularisation adaptés spécifiquement au problème, en ce sens qu'ils ne contraindront le coefficient recherché que dans les directions peu ou pas contraintes par les observations sur la solution de l'équation elliptique (G. Chavent, en collaboration avec K. Kunisch)
III.3b: Paramétrisation adaptée pour l'estimation de paramètres: le choix d'une réduction à la dimension finie du paramètre fonctionnel à estimer est une étape préalable très délicate et très importante du point de vue pratique, car les choix faits à ce moment conditionnent toute la suite du processus d'estimation. En 1998, nous avons proposé une nouvelle méthode, les indicateurs de raffinement et de déraffinement, permettant de faire cette réduction en parallèle avec l'optimisation, et d'obtenir un nombre "minimum" de paramètres permettant d'expliquer les données (G. Chavent, en collaboration avec H. Benameur)
III.3c: Schémas d'approximation pour les E.D.P. A la suite des résultats surprenants d'équivalence complète entre les éléments finis mixtes et un nouveau schéma aux volumes finis trouvé par A. Younes, R. Mose et P. Ackerer, G. Chavent a fait l'analyse mathématique de la méthode proposée, ce qui a permis de montrer que cette équivalence était vraie sans condition particulière sur la triangulation utilisée.
III.4) Autres méthodes numériques
III.4a: Mécanique de la rupture. L'utilisation d'une méthode numérique due à A. Chambolle et G. Dal Maso (SISSA, Trieste) et basée sur des éléments finis a permis de trouver dans l'étude numérique d'un modèle d'apparition et d'évolution des fissures dans un matériau élastique une approche adaptative où la triangulation est optimisée à chaque étape pour mieux s'adapter à la fonction discontinue qu'on essaie de calculer, ainsi qu'un résultat théorique sur une variante de ce modèle, plus stable numériquement et donnant de meilleurs résultats (A. Chambolle, en collaboration avec B. Bourdin et G. Francfort).III.4b: Calcul des valeurs propres d'opérateurs de Dirac avec potentiels singuliers traitant rigoureusement le spectre négatif et évitant l'apparition d'états spurieux (J. Dolbeault, M.J. Esteban, E. Séré et M. Vanbreugel).
III.4c: Méthodes particulaires déterministes pour la résolution d'équations de type chaleur ou milieux poreux, basés sur des approximations de type Vlasov (P.-L. Lions, en collaboration avec S. Mas-Gallic).
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