Un programme de longue haleine, lancé par I. Ekeland en collaboration avec P. A. Chiappori, professeur d'Economie à l'Université de Chicago, consiste à chercher les conséquences testables de la théorie économique classique, basée sur la maximisation de l'utilité individuelle. La problématique économique conduit à l'étude de systèmes non linéaires d'équations aux dérivées partielles, dont on cherche des solutions locales, c'est-à-dire définies au voisinage d'un "élément intégral" donné. Ces systèmes ne sont d'aucun type connu, et on a utilisé pour les résoudre les outils développés par l'école de géométrie de début du siècle, et notamment Elie Cartan. Une difficulté supplémentaire est que la modélisation économique impose de rechercher des solutions concaves à ces équations.
La plupart des résultats obtenus reposent sur l'utilisation du théorème de Cartan-Kähler, et supposent donc les données analytiques. Il en est ainsi de deux articles concernant le problème de la désagrégation des fonctions de demandes collectives. Une variante simplifiée de ce genre de problème est la version concave suivante du théorème de Darboux: étant donnée une 1-forme w, quand peut-on la mettre sous la forme w = Sk fkdgk où les fonctions fk sont positives et les gk concaves? Ce problème a été résolu par Ekeland et Chiappori dans le cas analytique, puis étendu par Nirenberg et Ekeland dans le cadre C·. A titre d'exemple, voici un système de deux EDP pour deux fonctions inconnues v,w, de trois variables q, r, f, issu de l'économie, résolu par Chiappori et Ekeland dans le cas analytique:
A la frontière de la microéconomie de l'incertain et de la finance mathématique, des travaux ont été menés (R. A. Dana) quant à l'unicité de l'équilibre avec marchés financiers en dimension infinie d'une part, à propos de l'arbitrage et de l'existence de tels équilibres, en dimension finie ou infinie, d'autre part, et enfin concernant le partage de risque et l'évaluation des actifs lorsque les agents ont des utilités plus générales que les utilités Von-Neumann Morgenstern. Pour ce dernier point, le cas des priors multiples et de la dominance stochastique seconde a été étudié.
Un autre travail en microéconomie de l'incertain a consisté à étudier le partage de risque en assurance. Sur le sujet de "l'audit déterministe", des résultats qualitatifs très différents de ceux qui existaient précédemment ont été obtenus par R. A. Dana, G. Carlier (étudiant de I. Ekeland) et M. Renaudin (étudiant de R. A. Dana).
En statistiques des processus liés à la finance mathématique, comme les diffusions ou les processus de sauts markoviens, certains travaux (D. Florens) ont visé à établir des résultats de grandes déviations pour les estimateurs de dérive de processus du type d'Orstein-Ulhenbeck en calculant explicitement les fonctions de taux, le même problème ayant également été étudié pour les mesures de Lévy de processus de sauts markoviens. Pour les diffusions "gaussiennes" d'Orstein-Ulhenbeck (Sharp deviations), la recherche de développements limités du type Berry-Essen a été poursuivie. Enfin le cas de la volatilité d'une diffusion a été étudié en ce qui concerne l'estimation des changements de régime par passage à certains niveaux (les ticks en finance), notamment dans le cas où cette volatilité dépend du niveau et de l'instant de saut. Un algorithme est proposé pour estimer le nombre de changements de régime et détecter les changements de régime.
Le problème de la localisation des ruptures de la volatilité historique d'un actif a également été étudié à l'aide d'une méthode variationnelle, et la sensibilité en fonction du nombre de ruptures a priori est analysée (C. Lopez). Un modèle en temps continu utilisant un processus de sauts a été développé par A. Tourin (avec J. Hodder et T. Zariphopoulou). C'est un modèle d'évaluation d'actif produit par deux pays incorporant la notion de risque politique, ce risque étant modélisé par un processus de sauts affectant le taux moyen de production du pays considéré comme risqué.
En calcul scientifique, des applications des méthodes de Monte-Carlo ont été menées, notamment pour le calcul de prix d'options européennes et leur dérivées ("grecs") (P.-L. Lions, avec E. Fournier, J. M. Lasry et J. Lebuchoux, PARIBAS). Un développement asymptotique en petit bruit a par ailleurs permis d'obtenir des résultats numériques très satisfaisants quant à la réduction de la variance des estimateurs de Monte Carlo par l'échantillonnage préférentiel (N. Touzi). La finance a en effet introduit une problématique supplémentaire dans les méthodes de Monte-Carlo, car il ne suffit pas en pratique de donner des estimateurs d'espérances de variables aléatoires, mais aussi leurs sensibilités par rapport aux différents paramètres du modèle.
Un autre axe de recherche a concerné les problèmes de contrôle stochastique ou déterministe en finance. En ce qui concerne le problème de couverture des risques, N. Touzi, en collaboration avec M. Soner, a introduit un principe de programmation dynamique qui permet d'écrire directement les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. Cette nouvelle approche permet de traiter un cadre assez général de problèmes de cible stochastique étroitement liés aux problèmes d'équations différentielles stochastiques Forward-Backward : trouver la plus petite condition initiale pour un processus réel contrôlé pour s'assurer qu'il rentre, à la date T, dans une région décrite par une cible stochastique contrôlée. Par ailleurs, le problème d'investissement optimal en présence de taxe sur les plus values peut conduire naturellement à un problème de contrôle déterministe avec retard endogène, étudié par N. Touzi. L'étude de généralisations du modèle d'investissement et de consommation de Merton dans un marché avec des coûts de transaction conduit également à un problème de contrôle stochastique. Celui-ci a été analysé numériquement via la construction de schémas numériques précis pour le calcul de la fonction valeur et des frontières libres qui caractérisent les stratégies optimales (A. Tourin avec T. Zariphopoulou et J. Hodder). Enfin, dans certains problèmes de maximisation d'utilité les processus contrôlés sont des semimartingales très générales, et le critère à maximiser est une fonction d'utilité supposée C1 et concave. L'affranchissement de l'hypothèse de dérivabilité imposé par les exemples pratiques a donné lieu à des développements mathématiques intéressants (N. Touzi).
D'autres problèmes ont également été étudiés: modélisation de produits dérivés avec information partielle (P. L. Lions, avec J. M. Lasry), optimisation statique de portefeuille sous contrainte de gestion et sensibilité du portefeuille optimal par rapport aux prévisions et aux containtes (C. Lopez), étude d'équations d'Hamilton-Jacobi apparaissant en économie appelées "multi-time equations", avec preuve, sous des hypothèses assez naturelles, de l'existence et l'unicité de la solution de viscosité (A. Tourin, avec G. Barles).
Signalons enfin que le CEREMADE participe à l'Institut de Finance (Université Paris IX), dirigé par I. Ekeland.
N. Vieille a prouvé l'existence de paiements d'équilibre (au sens de Nash) de jeux stochastiques à deux joueurs. Dans ces jeux se déroulant par étapes, les actions des joueurs et l'état du système à une certaine date déterminent les paiements instantanés des joueurs ainsi que l'état du système à la date suivante. N. Vieille a prouvé l'existence de paiements d'équilibre sans autre hypothèse que la finitude des espaces d'actions et d'états. Sur le plan mathématique, il s'agit de processus stochastiques à espaces d'états finis, contrôlés en temps discrets par plusieurs agents aux objectifs différents. Ce résultat remarquable a été présenté comme l'un des plus importants des dix dernières années en théorie des jeux à la conférence internationale de Stony Brook (Etats-Unis) en juillet 1999. L'étude de sa généralisation à un nombre quelconque de joueurs a en outre été amorcée (N. Vieille avec E. Solan, Hebrew University of Jerusalem et Northwestern University).
Un autre axe de recherche a concerné la notion d'information incomplète dans les modèles de jeux répétés: les joueurs ont des informations privées / partielles sur certains paramètres. Le cas où l'information acquise au cours du jeu présente un caractère public a été étudié par N. Vieille et O. Gossner (CEREMADE, puis THEMA), et l'étude de jeux stochastiques à information incomplète (l'état du système est de plus imparfaitement connu par les joueurs) a donné lieu à un travail de N. Vieille et D. Rosenberg (Ecole Polytechnique). La notion de transmission stratégique d'information a été étudiée en elle-même via l'introduction d'un modèle stratégique sans fonction de paiement (T. Tomala et J. Renault, alors au CERMSEM).
L'impact de la communication dans les jeux répétés à observation imparfaite (les actions sont imparfaitement observées par les joueurs après chaque étape) a été également étudié. La communication est classiquement modélisée par un jeu étendu dans lequel on autorise les joueurs à s'échanger des messages entre les tours de jeu au travers d'une machine appelée médiateur. J. Renault et T. Tomala ont obtenu une caractérisation des paiements d'équilibres en communication de tels jeux.
D'autres recherches ont traité des possibilités de communication entre les joueurs à l'aide d'un mécanisme simple (opérateur "and", N. Vieille et O. Gossner), le cas d'un jeu répété à somme nulle où l'un des joueurs doit tirer ses loteries avec une pièce biaisée (N. Vieille et O. Gossner), et enfin un modèle où la rationalité des agents est limitée (via des machines de Turing en temps polynomial) a été étudié par O. Gossner.
Signalons enfin que la participation au projet Oiko Nomia, consacré à l'étude des modèles mathématiques des interactions économiques et sociales (CERMSEM, CEREMADE et CREST), s'est poursuivie, via la rédaction de chapitres de théorie
