Statistiques sur les varietes differentielles homogenes
  Applications aux primitives geometriques en traitement d'image 3D

			Xavier Pennec
Resume :

Il est souvent utile en traitement d'image de ne conserver qu'un ensemble
restreint de primitives censees caracteriser le plus grande partie de
l'information de l'image. Ces primitives sont usuellement des contours, des
points de coin ou leur equivalent en imagerie 3D : les points extremaux, etc.

Cependant, ces primitives sont souvent plus complexes que de simples points :
on peut ainsi associer un vecteur normal a un point d'une surface, ce qui en
fait un point oriente, ou un triedre compose de la normale et des deux
directions principales pour un point extremal, pour former un repere.
Ces primitives geometriques forment en fait une variete qui n'est
generallement pas un espace vectoriel, sur lequel agit un groupe de
transformations qui modelise les differentes << prises de vue possibles >> de
l'image.  

Le probleme que l'on se pose ici est de pouvoir travailler avec ces primitives
comme on travaille d'habitude sur les points, et en particulier de pouvoir
faire de la reconnaissance, du recalage et des statistiques permettant 
d'inferer la precision de nos resultats. 

Nous presentons tout d'abord quelques paradoxes qui montrent que l'on ne 
peut pas considerer impunement ces primitives comme de simples vecteurs, puis, 
sur des bases de geometrie Riemannienne et en se restreignant aux variete
homogenes ayant une metrique invariante pour le groupe considere,  nous
developperons une notion de moyenne coherente, puis de matrice de covariance. 
D'autre operation statistiques peuvent ensuite etre generalisees aux varietes,
telles que la distance de Mahalanobis et le test du chi2.

Nous montrons ensuite comment cette theorie peut etre appliquee et implementee
en machine dans une structure orientee objet ne dependant pas du
type de primitive considere. Ceci permet alors de construire des algorithmes
de haut niveau, tels que la reconnaissance et le recalage,  qui soient
generiques et puissent s'appliquer a des problemes aussi differents que le
recalage d'images medicales et la recherche de structures communes dans les
proteines en biologie moleculaire.


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 Xavier PENNEC              Email: xavier.pennec@sophia.inria.fr
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