FORCADEL Nicolas

Avec E. Carlini, M. Falcone et R. Monneau, nous avons généralisé la méthode Fast Marching pour l'évolution d'interface développée par Sethian. Cette méthode numérique est un algorithme très rapide permettant de faire évoluer un front avec une vitesse normale prescrite (explications de la méthode). La restriction de cette méthode est que la vitesse normale doit être strictement positive (ou négative) et ne doit pas dépendre du temps. Dans notre travail, nous avons voulu adapter cette méthode pour des vitesses normales très générales voir ici pour une description de notre méthode généralisée.

Nous présentons quelques simulations réalisées avec cette nouvelle méthode.

Le premier test concerne l'évolution d'une ligne droite qui évolue avec une vitesse normale linéaire

V_n=x₁

dans le plan (x₁,x₂). Théoriquement, la ligne droite doit rester une ligne droite et tourner autour de l'origine. C'est ce que l'on observe dans la simulation. De plus, on remarque que la vitesse de rotation de la ligne décroit quand celle-ci approche de l'axe où la vitesse est nulle. Cela vient du fait que la vitesse normale est petite près de cet axe.

Le second test concerne l'évolution de deux cercles disjoints à l'instant initial et avec une vitesse normale:

V_n=1-t

Jusqu'à l'instant t=1, la vitesse est positive et les deux cercles vont grossir. On va alors observer un changement de topologie qui est gérer directement par la méthode. Quand la vitesse devient négative, l'ensemble va commencer à diminuer et l'on va à nouveau voir un changement de topologie:

Application à la segmentation d'image

Avec C. Gout et C. Le Guyader, nous avons proposé un modèle de segmentation d'image numérique utilisant la méthode fast marching généralisée. Ceci permet de relacher l'hypothèse sur la condition initiale. En effet, dans les méthodes de segmentation utilisant la FMM, la condition intiale devait être contenu à l'intérieur (ou à l'extérieur) de la zone à segmenter. Ici cette hypothèse n'est plus nécessaire:

Condition initale Résultat

Cette méthode permet donc de segmenter une séquence d'images en utilisant comme condition initiale, le résultat de l'image précedente:

Applications à la dynamique de ligne de dislocations

Avec E. Carlini et R. Monneau, nous avons également adapté notre GFMM au cas de la dynamique de ligne de dislocations. De manière simple, une dislocation est un défaut linéaire qui va bouger dans un cristal lorsque celui-ci est soumis à une contrainte extérieure. La dynamique d'un tel défaut est simplement donnée par une équation eikonale où la vitesse normale est non-locale et dépend de la géométrie de toute la ligne. En particulier, cette vitesse dépend du temps et n'a pas de signe constant. Les trois tests suivants concernent l'évolution d'une ligne au travers d'un obstacle. La vitesse normale est donnée par

Ici θ vaut 1 à l'intérieur de la ligne de dislocation et -1 à l'extérieur, c₀*θ (·,t) est une convolution en espace qui représente la force crée par la ligne de dislocation et c₁ est une force extérieur. En particulier, la boule de rayon 0.3 centrée à l'origine peut être vue comme un obstacle. En changeant la valeur de α, on obtient différentes évolution pour la ligne de dislocation:

Case α=1.5: la ligne passe l'obstacle

La ligne est ralentit par l'obstacle mais arrive à le passer sans changer de topologie.

Case α=0.5: l'obstacle brise la ligne

En diminuant la valeur de α mais en le gardant positif, l'obstacle devient plus difficile à franchir. La ligne doit donc se déconnecter. Une partie de la dislocation passe l'obstacle et continue à se propager alors que l'autre partie est capturé par l'obstacle et va disparaître.

Case α=-0.5: l'obstacle piège la ligne

En choisissant un obstacle plus dur, on observe à nouveau un changement de topologie. Comme dans le cas précédent, une partie de la ligne va passer l'obstacle et va continuer à se propager. Par contre une autre partie de la dislocation va rester bloquer sur l'obstacle et ne va pas disparaître.


	Nicolas Forcadel