Ecole Doctorale de Dauphine ED 543

Programme Doctoral de Mathématiques

Directeur: Massimiliano Gubinelli (page personelle)

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Cours 2011/2012

• T. Mikosch (du 13/9/11 au 27/09/11) Théorie des valeurs extrêmes et applications.

  Cours en anglais de 15H assuré par Thomas MIKOSCH de l'institut de mathématiques actuarielles de Copenhague. Les notions de valeurs extrêmes et distributions à queues épaisses sont introduites. L'approche est à la fois asymptotique (théorème des 3 classes, domaines max-stables) et non-asymptotique (propriétés de moments). L'inférence statistique pour les lois de Pareto généralisées est décrite (la méthode P.O.T.). Enfin, le problème de quantification de la dépendance dans les extrêmes est approché (copules, extrémogrammes). Ce cours est introductif et s'adresse en priorité aux étudiants du Master Pro d'Actuariat de Dauphine.

  
  
• S. Mischler. "Extension du théorème spectral pour une classe d'EDP linéaires". Semaines du 21, 28 nov, et du 5, 12 déc. 2011

  Pour certaines EDP linéaires (par exemple, l'équation de Fokker-Planck et l'équation de Boltzmann linéaire dans tout l'espace) $\partial_t f = L \, f$ on sait montrer que l'opérateur associé $L$ possède une propriété de "trou spectral" dans un certain espace $H$, de laquelle on déduit une description complète du comportement asymptotique du semi-groupe $e^{t L}$ dans $H$. Dans ces deux exemples, on a $H = L^2(G^{-1} \, dx$, $G$ étant la gaussienne. Cet espace est relativement "petit" puisqu'il implique en particulier une forte décroissance à l'infini des fonctions lui appartenant. Une question naturelle (et cruciale pour certaines applications à des problèmes de stabilité pour des EDP non linéaires reliées) est de savoir si une description du semi-groupe $e^{t L}$ peut être obtenue dans un espace plus grand ${\cal E} \supset H$, typiquement ${\cal E} = L^p(m \, dx)$, $p \ge 1$, $m$ un polynôme. L'objectif de ce cours est de donner une réponse positive à ce problème pour une classe d'EDP linéaires incluant les deux exemples cités. Un plan possible est le suivant.
  
  

  1. Introduction.
  2. Inégalité de Poincaré et théorème spectral pour l'équation de Fokker-Planck et l'équation de Boltzmann linéaire dans $L^2$
  3. Théorie abstraite d'extension du théorème spectral
  4. Applications à des EDP linéaires
  5. Applications à des EDP non linéaires
  
  
• J.-M. Mirebeau. "Construction et adaptation de maillages pour la simulation numérique" (12h).

  Les solutions de nombreuses Equations aux Dérivées Partielles (EDP) présentent des comportements fortement inhomogènes. Leur régularité, mesurée par les normes de certaines dérivées, varie fortement selon les lieux et les directions spatiales. Ceci suggère voire impose d'utiliser des méthodes de calcul adaptées lors de la résolution numérique. Dans le contexte de la simulation d'EDP par éléments finis, un premier objectif est de déterminer localement les directions et les echelles souhaitables du maillage, à l'aide d'estimations locales des dérivées des fonctions intervenant dans la simulation. La seconde étape, non des moindres, est de construire un maillage répondant à cette description. Je présenterai dans ce cours les aspects théoriques et pratiques de ces deux étapes, intimement liées, en décrivant leurs enjeux, les résultats classiques et quelques développements récents. D'un point de vue théorique, elles présentent des liens forts et à priori inattendus avec d'autres sujets mathématiques, allant du traitement d'image à la géométrie riemannienne, en passant par la théorie algébrique des polynômes invariants. Ces notions seront précisées dans le cours, et aucun pré-requis n'est nécessaire, bien qu'une certaines familiarité avec la méthode des éléments finis soit un plus. Nous utiliserons le logiciel libre de simulation numérique par éléments finis FreeFEM++, pour la mise en oeuvre pratique des résultats du cours.

  
  
  • Mardi 21/2/12 de 14h00 à 17h00 en salle D102
  • Mardi 6/3/12 de 14h00 à 17h00 en salle D102
  • Mardi 13/3/12 de 14h00 à 17h00 en salle D102

• I. Ekeland. "Méthodes variationnelles et dualité: une introduction"
  • Leçon 1: Solutions périodiques des équations de Hamilton. Formulation variationnelle, formulation duale
  • Leçon 2: Période fixée. Le cas sous-quadratique
  • Leçon 3: Période fixée. Le cas sur-quadratique

  Dates
  
  

  • jeudi 8/3/12 de 10h30 à 12h00: salle AR52-53 (5eme étage nouvelle aile)
  • jeudi 15/3/12 de 10h30 à 12h00: salle C
  • jeudi 22/3/12 de 10h30 à 12h00: salle C
  
  
• S. Olla. "From microscopic dynamics to thermodynamics: a 'classical' approach through hydrodynamic limits". "Thermodynamics and Statistical Mechanics". 9h.

  Thermodynamic transformations (isothermal, adiabatic, etc) are obtained as the evolution in a large space-time scale of the corresponding conserved quantities. I will examine this point of view in a one dimensional system controlled by temperature and tension. In this model some scaling limit can be proven rigorously through the theory of hydrodynamic limits.
  
  

  • A crash course on Thermodynamics and Statistical mechanics: Carnot Cycles, thermodynamic entropy. large deviations, tilting.
  • Adiabatic and isothermal transformations through hydrodynamic limits.
  • Heat diffusion

  Dates
  
  

  • lundi 12/03/12 de 14h30 à 17h30 en salle A711
  • lundi 19/03/12 de 14h30 à 17h30 en salle P505
  • lundi 26/03/12 de 14h30 à 17h30 en salle A711
  
  

• M. Gubinelli. "An introduction to the theory of rough paths". 12h. Printemps 2012. en Anglais.

  This theory is an analytical approach to some problems encountered when trying to define integrals over irregular objects like the sample paths of stochastic processes (of which Brownian motion is the prototypical example). It allow to define solution of stochastic differential equation driven by non-semimartingale processes and to simplify some arguments in stochastic analysis and consider new class of evolution problems for which no simple solutions where known before. We will introduce the basic ideas of the theory, show some applications, in particular to some deterministic problem in PDE theory. The course is self contained, no previous knowledge of stochastic integration is needed. It is suitable both for probabilists and analysts.

  
  

Seminaires et Groupes de Travail

• GdT "Contrôle Stochastique" (url)
• GdT "Calcul des Variations" (url)

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