Le GDR MSPC et le groupe SMAI-AFA organisent une journée conjointe sur le thème de la génération de maillages.

Les thèmes abordés sont :

• Théorie de l'approximation de fonctions et de surfaces, métriques optimales.
• Gradation de métriques et anisotropie.
• Méthodes de génération de maillages anisotropes par rafinement avec garanties.
• Méthodes variationnelles pour la génération de maillages.
• Applications en computer graphics.

La journée sera ponctuée à la fois introductifs sur la théorie, avec des ouvertures sur des axes de recherche récents. Elle sera également l'occasion de discussions informelles.

Date

    Vendredi 26 Novembre 2010

Localisation

Institut Henri Poincaré (Paris, France)
Amphitheatre Hermite

Comité d'organisation

Inscription: gratuite mais obligatoire

Inscription en ligne.

Programme provisoire.

09:30-10:30	Jean-Marie Mirebeau (Paris 6)	Approximation adaptative et anisotrope par éléments finis : théorie et algorithmes (résumé) (slides)
10:30-11:00	Pause Café
11:00-11:45	Frédéric Hecht (Paris 6)	Adaptation et génération de maillage à base de métrique et estimation d'erreur (résumé) (slides)
11:45-12:30	Charles Dapogny (Paris 6)	Anisotropie et méthodes de lignes de niveaux pour les simulations numériques (résumé) (slides)
12:30-14:00	Pause déjeuner (cafétéria IHP)
14:00-15:00	Assemblée générale SMAI-AFA
15:00-15:45	Bruno Levy (INRIA Loria)	Sur les cartes auto-organisatrices : une approche variationelle et ses applications en traitement numerique de la geometrie (résumé) (slides)
15:45-16:15	Pause café
16:15-17:00	Frédéric Alauzet (INRIA Rocquencourt)	Metric-based anisotropic mesh adaptation: theory and practice (résumé) (slides)
17:00-17:45	Jean-Daniel Boissonnat (INRIA Sophia)	Star stitching (résumé) (slides)

Résumés.

Jean-Marie Mirebeau (Paris 6)

Approximation adaptative et anisotrope par éléments finis : théorie et algorithmes

Résumé : Etant donnée une fonction f définie sur un domaine bidimensionel et un entier n>0, nous étudions les propriétés de la triangulation Tn qui minimise la distance entre f et son interpolation sur l'espace d'éléments finis associé, parmi toutes les triangulations comportant au plus n éléments. L'erreur est étudiée dans la norme Lp ou W1p et nous utilisons sur les éléments finis de Lagrange de degré polynomial arbitraire m-1. Nous établissons des estimations d'erreur asymptotiquement optimales lorsque n tend vers l'infini et que la triangulation optimale est utilisée. Les maillages qui satisfont l'estimation d'erreur optimale en norme Lp sont caractérisés par une métrique optimale qui décrit leur orientation et rapport d'aspect. Dans le cas des normes W1p une condition géométrique supplémentaire apparaît : les angles des triangles ne doivent pas être trop plats. Le respect de la contrainte géométrique sur les angles rend la production des triangulations plus difficile. Nous avons quantifié ce point en prouvant l'équivalence de certaines familles de maillages et de métriques, ce qui traduit la contrainte géométrique sur les angles d'un maillage par une condition de régularité satisfaite par la métrique équivalente. D'un autre côté on peut néanmoins approcher une une fonction en norme W1p sur un maillage qui ne vérifie pas la contrainte angulaire. L'erreur d'approximation de la fonction sur le maillage n'est plus optimale, mais peut tout de même être analysée.

Frédéric Hecht (Paris 6)

Adaptation et génération de maillage à base de métrique et estimation d'erreur

Résumé : Après une introduction des notions de champs des métriques, de carte de taille, et de maillage unité, Je donnerai des outils bases simple pour construire un générateur de maillage anisotrope en modifiant un algorithme de maillage de type Delaunay Voronoï (je présenterais les difficultés liées aux surfaces et à la dimension 3). Puis en second temps, je vais présenter des résultats sur la construction de métrique pour différentes normes, les contraintes sur les éléments finis pour qu'ils supportent des éléments anisotropes, les liens entre les indicateurs d'erreur classique et les métriques.

Charles Dapogny (Paris 6)

Anisotropie et méthodes de lignes de niveaux pour les simulations numériques

Résumé : La méthode des lignes de niveaux a été introduite par Sethian et Osher (1988) notamment pour résoudre de manière précise et efficace le délicat problème de la propagation des interfaces suivant un champ de vitesses généralement fourni par la résolution d'une EDP. Dans notre exposé, nous allons montrer plusieurs applications de cette méthode à des problèmes physiques et géométriques modélisés par une EDP. Dans ce type de problème, la précision sera liée à l'utilisation de maillages simpliciaux adaptés à un champ de métriques anisotropes fournit par un estimateur d'erreur a priori ou a posteriori permettant en particulier de contrôler l'approximation de l'interface.

Bruno Levy (INRIA)

Sur les cartes auto-organisatrices : une approche variationelle et ses applications en traitement numerique de la geometrie

Résumé : Nous presentons VSOM (Variational Self Organizing Maps), une variante des cartes auto-organisatrices (SOM - Self Organizing Maps [Kohonen]). Etant donnes un graphe G et une distribution d'echantillons dans IR^n, VSOM permet de calculer un plongement de G qui approxime globalement la forme de la distribution. Les differences entre VSOM et SOM sont les suivantes: 1) VSOM est defini comme le minimiseur d'une fonction objectif, ce qui permet l'utilisation d'algorithmes d'optimisation efficaces (Newton), 2) La distribution a approximer peut etre definie sous forme continue. Nous nous interessons particulierement au cas des surfaces et des volumes, representes par des complexes simpliciaux. Nous presentons des applications de VSOM a l'ajustement aux donnees pour les surfaces de subdivision et au maillage hexaedrique 3D structuré.

Frédéric Alauzet (INRIA)

Metric-based anisotropic mesh adaptation: theory and practice

Résumé : This presentation discusses our last contributions regarding anisotropic mesh adaptation to steady and unsteady flow simulations on complex geometries. First, it presents the multiscale mesh adaptation relying on an Lp-norm error estimate and an anisotropic goal-oriented mesh adaptation strategy for steady flows. The last approach provides optimal adapted meshes for functional outputs. Second, their extensions to time dependent problems is described. It is based on a fixed-point algorithm for convergence and Linf criterion on sub-intervals to avoid adapting the mesh at each solver iteration. In each case, the error estimate controls the space-time error. Several numerical examples will illustrate the efficiency of the proposed approaches.

Jean-Daniel Boissonnat (INRIA)

Star stitching

Résumé : Although the Delaunay triangulation is widely used in dimensions 2 and 3, it has several drawbacks, most notably: 1) the complexity of the Delaunay triangulation grows exponentially with the dimension, which makes it difficult to use even if the points lie on a submanifold of small dimension ; 2) it cannot accomodate in a natural way non uniform metric fields, a major issue in anisotropic mesh generation. We present a general mechanism to overcome these difficulties and to mesh Riemannian manifolds with guarantees. The basic idea is to compute local triangulations (stars) by computing in the tangent space of the manifold at the sample points. The stars do not necessarily glue together in a consistent way even if the manifold is densely sampled. This is due to the instability of Delaunay triangulations around cospherical configurations. These configurations are in fact flat simplices of higher dimensions that can be detected and removed by perturbing the points by several means. As a result, we can stitch the stars together and obtain a provably good approximation of the manifold. Only extrinsic operations are performed, which makes the algorithm relatively easy to implement. Nevertheless, the complexity of the algorithm depends mostly on the intrinsic dimension of the manifold. This is a joint work with Arijit Ghosh.