Colloquium du CEREMADE

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Intervenant : SANTAMBROGIO Filippo (Université Lyon 1)
Titre :
{Euclidean, metric, and Wasserstein} Gradient flows

Le : 07/05/2024 de : 15:30 à : 16:30
At the beginning of the presentation, I will explain what a gradient flow is in the simplest case: a curve in R^n solution of x'=-DF(x). In particular I will introduce a very natural time-discretization which is well-defined even when we replace the Euclidean space with a metric space, and I will briefly introduce some notions of gradient flow in a metric framework. We will then focus on the case where the metric space is the space of probability measures endowed with the Wasserstein distance, defined in terms of optimal transport. In this case we look for a mass distribution which evolves in time, and we can characterize it by PDEs. I will show how certain well-known diffusion PDEs (including the heat equation) fit into this framework.
Salle : A709

Colloquium du CEREMADE

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Intervenant : TóTH Bálint (University of Bristol and Alfréd Rényi Institute of Mathematics)
Titre :
The Random Lorentz Gas - Invariance Principle Beyond the Kinetic Time Scales

Le : 02/04/2024 de : 15:30 à : 16:30
Since the pioneering work of Paul and Tatiana Ehrenfest (1912) the deterministic (Hamiltonian) motion of a point-like particle exposed to the action of a collection of fixed, randomly located short range scatterers has been a much studied model of physical diffusion under fully deterministic (Hamiltonian) dynamics, with random initial conditions. This model of physical diffusion is known under the name of "random Lorentz gas" or "random wind-tree model". Celebrated milestones on the route to better mathematical understanding of this model of true physical diffusion are the Kinetic Limits for the tagged particle trajectory under the so-called Boltzmann-Grad (a.k.a. low density), or weak coupling approximations [Gallavotti (1970), Spohn (1978), Boldrighini-Bunimovich-Sinai (1982), respectively, Kesten-Papanicolaou (1980)]. Once the Kinetic Limits are established, under a second diffusive space-time scaling limit the central limit theorem (CLT) and invariance principle (IP) follows. However, the CLT/IP under bare diffusive space-time scaling (without first applying the kinetic approximations) remains a Holy Grail. In recent work we have obtained some intermediate results, partially interpolating between the two-steps-limit (first kinetic, then diffusive - as described above) and the bare-diffusive-limit (Holy Grail). We establish the Invariance Principle for the tagged particle trajectories under a joint kinetic+diffusive limiting procedure, performed simultaneously rather than successively, reaching significantly longer time scales than any earlier result. The main ingredient is a coupling of the Hamiltonian trajectory (with random initial conditions) and an approximate Markovized version of the motion, and probabilistic and geometric controls on the efficiency of this coupling. The Holy Grail remains, however, beyond reach. In the colloquium talk I will present a concise historic survey of the problems and some insight regarding the main ideas of the more recent work.
Salle : A709

Colloquium du CEREMADE

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Intervenant : CASTILLO Ismaël (Sorbonne Université)
Titre :
A tale of heavy tails

Le : 05/03/2024 de : 15:30 à : 16:30
Dans cet exposé, j’expliquerai l’utilité de lois de probabilité à queues lourdes en statistique bayésienne en tant que lois a priori sur des aspects d’un objet fonctionnel à estimer, par exemple les coefficients d’une fonction sur une base. En partant d’une comparaison avec les processus gaussiens, nous verrons que, de façon surprenante au premier abord, des propriétés automatiques d’adaptation à la régularité de la fonction inconnue sont obtenues avec certaines lois à queues lourdes. Nous présenterons aussi des propriétés d’adaptation à des structures cachées telles que les structures de composition pour des réseaux de neurones profonds dont les poids sont à queues lourdes. Nous expliquerons certains avantages du point de vue algorithmique, comme l’absence de nécessité d’échantillonnage sur les (hyper-)paramètres de régularité ou de structure.
Salle : A709

Colloquium du CEREMADE

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Intervenant : CAPUTO Pietro (Università Roma Tre)
Titre :
Navigating Networks by Random Walks
https://www.ceremade.dauphine.fr/~salez/colloquium.html
Le : 05/12/2023 de : 15:30 à : 16:30
In the analysis of a large, complex network, exploration via random walks is often the most effective strategy available. How long does it take to traverse the entire network ? Does the walk achieve a stable equilibrium, and if so, how long is the journey to reach it ? And crucially, what does this steady state look like ? The answers to these questions are key to understanding a network's structural features and provide valuable insights for ranking systems and search algorithms. Developing a comprehensive mathematical treatment of these issues for real-world networks poses a formidable task, and a rigorous analysis has only recently started in the context of relatively simple models. In this lecture, we illustrate some promising preliminary progress in the setting of directed networks obtained from simple random graph models. The discussion includes scenarios where the walker experiences regeneration events such as teleportation, as in PageRank algorithms, or resampling of the underlying graph, as in a dynamically evolving network.
Salle : C206

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Intervenant : MAURY Bertrand (Université Paris Sud)
Titre :
Sciences sociales et flots de gradient

Le : 07/11/2023 de : 15:30 à : 16:30
Un grand nombre de phénomènes physiques recèle une structure de flot de gradient, ou de de système hamiltonien (que l’on peut voir comme une version inertielle du flot de gradient). Cela signifie qu’il existe une fonction sous-jacente des variables d’état (de positions s’il s’agit par exemple de particules), de type énergie potentielle dans un contexte mécanique, qui conditionne l’évolution du système. Dans la version non inertielle, l’état du système « glisse » suivant la ligne de plus grande pente de cette fonction, qui conditionne donc entièrement le comportement global du système. Nous nous demanderons si certains phénomènes impliquant des entités pensantes et dotées de capacités cognitives, et qui peuvent a priori se modéliser par des équations formellement proches de celles de la physique des entités passives, présentent cette structure. Nous tâcherons de préciser ce qui peut expliquer qu’ils s’en écartent, légèrement ou plus franchement, et nous explorerons les conséquences que cela peut avoir sur le comportement des solutions. Nous illustrerons ces considération générales dans le domaine de la propagation d’opinion sur réseaux sociaux, et sur les mouvements de foules ou de véhicules.
Salle : A709

Colloquium du CEREMADE

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Intervenant : LELARGE Marc (INRIA et Ecole Polytechnique)
Titre :
Mathématiques et Intelligence Artificielle

Le : 03/10/2023 de : 15:30 à : 16:30
Les principaux algorithmes d'apprentissage statistique reposent sur des fondements mathématiques variés tels que les statistiques, l'optimisation, les probabilités... En sera-t-il de même pour l'Intelligence Artificielle? Dans cette présentation, je présenterai quelques exemples récents d'interactions entre apprentissage machine et mathématiques.
Salle : A709

Colloquium du CEREMADE

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Intervenant : YOUSSEF Pierre (NYUAD)
Titre :
Phenomena in High Dimensions

Le : 09/06/2023 de : 14:00 à : 15:00
How do high dimensional convex bodies look like? How does the spectrum of a random matrix behave as its dimension grows? How does the connectivity of a graph evolve as its size grows? In this talk, I will try to discuss some phenomena that arise as the ``dimension'' grows in several related contexts.
Salle : A311

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Intervenant : ANANTHARAMAN Nalini (Université de Strasbourg)
Titre :
Principes d'incertitude, inégalités d'incertitude

Le : 04/04/2023 de : 15:30 à : 16:30
Je présenterai un panorama (non exhaustif) de résultats classiques et moins classiques se rattachant au principe d'incertitude : il n'est pas possible simultanément pour une fonction et sa transformée de Fourier d'être concentrées sur des ensembles trop petits. Je montrerai ensuite quelques liens avec un de mes sujets de prédilection, l'ergodicité quantique.
Salle : A709

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Intervenant : ROSENBAUM Mathieu (Ecole Polytechnique)
Titre :
Des tremblements de terre à la compréhension des risques financiers via le football: autour de la modélisation statistique par les processus de Hawkes.

Le : 03/01/2023 de : 15:30 à : 16:30
Le but de cet exposé est d'illustrer la pertinence et la flexibilité des processus de Hawkes comme outil de modélisation pour de nombreux problèmes statistiques. Nous montrerons notamment comment ceux-ci ont pu permettre de revisiter notre compréhension de la dynamique des risques en finance et de créer de nouvelles approches de gestion quantitative plus efficaces. Nous évoquerons aussi leur utilisation pour l'analyse de données sportives dans le cadre de la construction de métriques de performance.
Salle : A709

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Intervenant : STAUFFER Alexandre (University of Bath)
Titre :
Random growth processes: dendritic formation and competition

Le : 06/12/2022 de : 15:30 à : 16:30
During the 80's, several growth processes were introduced in the physics literature with the goal of providing a simple and tractable model of dendritic growth. Such phenomenon is observed in several different contexts in nature, including the growth of bacteria under starvation, crystal dendrite, dielectric breakdown, and electrodeposition, and is characterized by the formation of very ramified, fractal-like structures. Almost four decades later, we still encounter tremendous mathematical challenges in studying the geometric and dynamic properties of such processes. In this talk, I will survey the developments in this field, giving emphasis to recent results in the classical model of multi-particle diffusion limited aggregation (MDLA). I will also introduce and discuss a new growth process, which can be viewed as a model for the growth of two species that compete for space. This new process has been recently used to analyze MDLA and other models.
Salle : A709

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Intervenant : VAN DEN BOSCH Hanne (Universidad de Chile)
Titre :
Solitary waves in Nonlinear Dirac Equations
Colloquium (suivi d'un pot)
Le : 04/10/2022 de : 15h30: à : 16h30:
In nonlinear dispersive equations, the competition between the linear dispersion and nonlinear self-interaction gives rise to localized solutions that maintain their shape as time evolves. Famous examples of this are the solitons in the Korteweg-de Vries equation or solitary waves for the nonlinear Schrödinger equation. In the latter case, there is a beautiful theory to determine if small perturbations in the initial condition remain close to a solitary wave as time evolves, or on the contrary, may completely destroy its shape. In many types of Nonlinear Dirac equations, these special solutions exist as well, but very little is known rigorously about their properties. During the colloquium, I will present this problem and compare the results for the Schrödinger case with those for their Dirac analogues.
Salle : A709

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Intervenant : LOSS Michael (Georgia Institute of Technology)
Titre :
Optimal criteria for magnetic fields that bind electrons

Le : 30/05/2022 de : 14:30 à : 15:30
This talk will provide a basic introduction to the three dimensional Dirac equation that describes an electron interacting with a magnetic field. Over the years a lot of work has gone into constructing zero energy solutions, also known as zero modes, for said equation. In this talk I will explain the importance of zero modes and will show how they relate to the stability of the hydrogen atom. After presenting explicit examples, I will state necessary conditions for the magnetic field so that zero modes exist. Here, of particular interest is a sharp inequality that is optimized by a magnetic field whose field lines are interlinking circles. This pattern results from pulling back the Hopf fibration on the three sphere to three dimensional space using the stereographic projection.
Salle : A709

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Intervenant : GALLAGHER Isabelle (Ecole Normale Supérieure de Paris)
Titre :
Sur la dynamique des gaz dilués

Le : 05/04/2022 de : 15:30 à : 16:30
L'évolution d'un gaz peut être décrite par différents modèles selon l'échelle d'observation. Une question naturelle, soulevée par Hilbert dans son sixième problème, est de savoir si ces modèles fournissent des prédictions cohérentes. Dans le cas des gaz de sphères dures, Lanford a montré en 1974 que l'équation de Boltzmann apparaît comme une loi des grands nombres dans la limite de faible densité, au moins pour des temps très courts. Dans cet exposé nous présenterons le résultat de Lanford, et quelques extensions récentes permettant de comprendre les fluctuations et les grandes déviations autour de l'équation de Boltzmann.
Salle : A709

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Intervenant : GASSIAT Elisabeth (Université Paris Saclay)
Titre :
Quand la dépendance ouvre des possibles

Le : 07/12/2021 de : 15:30 à : 16:30
C’est une idée générale et vague qu’un peu de structure dans les données renforce les capacités d’apprentissage. J’explorerai cette idée en introduisant de la dépendance dans la modélisation et en m’appuyant plus particulièrement sur le clustering. Le clustering est une méthode de classification non super-visée qui cherche à regrouper les données en sous-populations signifiantes, dites « clusters ». Mais comment définir un cluster ? Je présenterai les modèles à variable latente, et montrerai comment une structure de dépendance markovienne des variables latentes permet de s’affranchir de toute hypothèse restrictive sur les clusters. Je présenterai aussi d’autres exemples de modèles où la dépendance permet de résoudre des questions qui ne peuvent l’être dans le cadre indépendant.
Salle : A709

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Intervenant : CURIEN Nicolas (Université Paris Saclay)
Titre :
Surfaces aléatoires en tous genres

Le : 05/10/2021 de : 15:30 à : 16:30
Qu'est-ce qu'une surface aléatoire ? Cette question mathématique naturelle intervient également en physique, dans la théorie de la gravité quantique en dimension 2. Bien sûr la réponse dépend de la loi de probabilité choisie. Nous verrons quelques propriétés des surfaces discrètes aléatoires (connues sous le nom de cartes aléatoires). Le cas planaire (genre 0) est maintenant bien étudié en probabilités avec notamment les travaux de Le Gall, Miermont, Sheffield et Miller sur la carte brownienne. Mais quid du genre plus grand ? Nous esquisserons aussi quelques réponses pour les surfaces aléatoires "continues". L'exposé comportera beaucoup, beaucoup d'images.
Salle : A709