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Cette thèse étudie le problème de super-réplication sur les marchés financiers en présence de coûts de transaction proportionnels. L’objectif est de dépasser les caractérisations abstraites du prix de sur-couverture, généralement obtenues par des arguments de dualité, afin d’obtenir des formules explicites pour les prix de sur-couverture et les stratégies correspondantes, directement exploitables à partir de données de marché. Un outil mathématique central de la thèse est la théorie des ensembles aléatoires conditionnels. Alors que cette théorie est généralement développée dans les espaces de Banach séparables, nous l’étendons aux espaces polonais. Cette extension fournit le cadre mathématique nécessaire pour caractériser les supports conditionnels de variables aléatoires à valeurs dans des espaces fonctionnels et intervient dans l’analyse des problèmes de sur-réplication. Dans un premier temps, le problème est étudié en temps discret. Sous la condition d’Absence de Profit Instantané, nous établissons une construction récursive rétrograde explicite du prix minimal de sur-couverture d’une option européenne. L’ensemble des stratégies de couverture optimales est également caractérisé explicitement. La construction est valable pour tout horizon fini et tout taux de coûts de transaction déterministe. Les résultats sont complétés par des illustrations numériques fondées sur des données de marché réelles, notamment sur des options liées à l’indice SPY, permettant d’étudier concrètement l’impact des coûts de transaction sur les prix et les stratégies de couverture. Dans un second temps, nous étendons l’analyse au temps continu dans le cadre du modèle de marché avec coûts de transaction proportionnels fondé sur les cônes de solvabilité de Kabanov. Les stratégies sont modélisées par des processus à variation finie et le problème de sur-réplication est formulé en termes de processus de valeur. Nous établissons un principe de programmation dynamique pour le processus de valeur de sur-couverture, fournissant ainsi une formulation adaptée à l’analyse des problèmes de couverture en temps continu.
This thesis studies the problem of super-hedging in financial markets with proportional transaction costs. The objective is to go beyond the abstract characterizations of super-hedging prices, typically obtained through duality arguments, and to derive explicit formulas for super-hedging prices and corresponding strategies that can be directly implemented using market data. A central mathematical tool developed in this thesis is the theory of conditional random sets. While this theory is usually developed in separable Banach spaces, we extend it to Polish spaces. This extension provides the mathematical framework needed to characterize conditional supports of random variables taking values in functional spaces and plays a central role in the analysis of super-hedging problems. First, the problem is studied in discrete time. Under the condition of Absence of Instantaneous Profit, we establish an explicit backward recursive construction of the minimal super-hedging price of a European option. The set of optimal hedging strategies is also characterized explicitly. The construction applies to any finite time horizon and any deterministic proportional transaction cost rate. The results are complemented by numerical illustrations based on real market data, in particular on options related to the SPY index, allowing the impact of transaction costs on hedging prices and strategies to be studied concretely. Second, we extend the analysis to continuous time within the market model with proportional transaction costs based on Kabanov's solvency cones. Trading strategies are modeled by finite-variation processes, and the super-hedging problem is formulated in terms of the associated value process. We establish a dynamic programming principle for the super-hedging value process, providing a framework for the analysis of continuous-time hedging problems.
M. Emmanuel LEPINETTE, Maître de conférences, Université Paris Dauphine - PSL, Directeur de thèse
Mme Giulia DI NUNNO, Full professor, Université d'Oslo, Rapporteure
M. Luciano CAMPI, Full professor, Université de Milan, Rapporteur
M. Yuri KABANOV, Professeur émérite, Université Marie et Louis Pasteur, Examinateur
M. Mathieu ROSENBAUM, Professeur des universités, Université Paris Dauphine - PSL, Examinateur
Mme Emma HUBERT, Maître de conférences, Université Paris Dauphine - PSL, Examinatrice
