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On estime finement des échelles de temps de systèmes de particules en interaction, établissant le phénomène de cutoff dans plusieurs contextes. On étudie en particulier le temps de mélange, temps au bout duquel un système oublie sa condition initiale et devient proche de sa loi stationnaire. Dans ce contexte, le cutoff est une transition abrupte en temps où un système, très influencé par sa condition initiale peu avant le temps de mélange, devient très proche de sa loi stationnaire peu après le temps de mélange. Dans la première partie de la thèse, on étudie le processus d’exclusion facilité (FEP) et on introduit le processus d’exclusion avec pièges (SWT) et une correspondance entre ces modèles. Pour les deux modèles, au bout d’un temps fini appelé temps de transience, soit le système gèle, soit il atteint un ensemble d’états dits ergodiques parmi lesquels il continuera d’évoluer. On étudie d’abord le temps de transience du FEP et du SWT, prouvant un phénomène de cutoff, où le système n’est ni gelé ni ergodique avec grande probabilité peu avant le temps de transience, puis en un court laps de temps devient gelé ou ergodique avec grande probabilité. On montre ensuite le cutoff du temps de mélange pour les deux modèles. Dans la deuxième partie de la thèse, on étudie le Processus d’Exclusion Simple Totalement Asymétrique (TASEP) lifté, une instance représentative de techniques de simulations non-réversibles. Analysant heuristiquement le modèle, on formule des conjectures sur des échelles de temps du modèle et un lien avec des marches aléatoires auto-interagissantes, que l’on démontre pour une variante du système définie sur Z appelée modèle de flèche marquée (MAM). On se tourne ensuite vers le MAM sur le cercle discret, étudiant le phénomène de cutoff pour deux notions de temps de mélange.
We obtain sharp bounds on the timescales of several interacting particle systems and establish various instances of the cutoff phenomenon. We focus on the mixing time, i.e. the time for a system to forget its initial condition and become close to its stationary distribution. In this context, cutoff is an abrupt transition in time where a system, strongly influenced by its initial condition just before the mixing time, becomes very close to its stationary distribution little after the mixing time. In the first part of the thesis, we study the Facilitated Exclusion Process (FEP) and introduce the Symmetric Simple Exclusion Process with Traps (SWT) and a mapping between these models. For both models, after a finite time called transience time, the system is either absorbed in a frozen state or reaches an ergodic component and continues evolving in this set. We first compute the transience time of the FEP and the SWT and prove a cutoff phenomenon, by which, just before the transience time, with high probability the system is not yet frozen or ergodic, then after a short time window it becomes frozen or ergodic with high probability. We then prove cutoff for the mixing time of both models. In the second part of the thesis, we study the lifted Totally Asymmetric Exclusion Process (TASEP), a modification of the TASEP designed to emulate non-reversible sampling techniques. A heuristic analysis of the model yields conjectures on timescales of the system and a link with self-interacting random walks, which we prove for a modified version of the system on Z called the Marked Arrow Model (MAM). We then study the MAM on the discrete circle and investigate the cutoff phenomenon for two notions of mixing time.
Mme Cristina TONINELLI, Directeur de recherche, Université Paris Dauphine – PSL, Directrice de thèse
M. Clément ERIGNOUX, Chargé de recherche, INRIA Lyon, Co-directeur de thèse
M. Cyril LABBÉ, Professeur, Université Paris Cité, Rapporteur
M. Bálint TО́TH, Professeur, Alfréd Rényi Institute of Mathematics, Rapporteur
Mme Oriane BLONDEL, Directeur de recherche, Université Paris Cité, Examinatrice
Mme Laure DUMAZ, Directeur de recherche, École Normale Supérieure – PSL, Examinatrice
M. Kirone MALLICK, Directeur de recherche, CEA Paris-Saclay, Examinateur
M. Justin SALEZ, Professeur, Université Paris Dauphine – PSL, Examinateur
