Soutenance de thèse (Cristian MENDICO, 5 nov. 2021)

12 octobre 21

M. Cristian MENDICO soutiendra sa thèse vendredi 5 novembre à 10h en Italie. Sa thèse, intitulée "Comportement ergodique des problèmes de contrôle and des jeux à champs moyen" a été réalisé sous la direction de M. Pierre Cardaliaguet et Cannarsa Piermarco.

Titre : Comportement ergodique des problèmes de contrôle and des jeux à champs moyen

 

Résumé : Les travaux de cette thèse concernent l'analyse de systèmes de jeu à champ moyen (MFG) du premier ordre avec contrôle de l'accélération et l'étude du comportement en temps moyen long de systèmes de contrôle de type sous-riemannien. Plus précisément, dans la première partie nous commençons par étudier le caractère bien posé du système MFG associé à un problème de commande à équation linéaire en espace et en état de commande. En particulier, nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions généralisées et nous étudions également leur régularité. Ensuite, nous nous concentrons sur le système MFG avec contrôle de l'accélération, un cas particulier de celui décrit ci-dessus, et nous étudions le comportement en temps moyen long des solutions en montrant la convergence vers une constante ergodique. Ici, comme pour l'analyse précédente, le principal problème est le manque de convexité et de coercivité stricte du Hamiltonien par rapport à la variable de quantité de mouvement. Cela conduit par exemple à la non-existence de solutions de viscosité continue aux équations ergodiques de Hamilton-Jacobi et, par conséquent, ce permet pas de définir le système MFG ergodique au sens classique. Nous concluons cette première partie en établissant un lien entre le système MFG avec contrôle de l'accélération et le système MFG classique. Pour ce faire, nous étudions le problème de perturbation singulière pour le système d'accélération MFG, c'est-à-dire que nous analysons le comportement des solutions aux systèmes de jeu à champ moyen dont le coût d'accélération devient nul. Encore une fois, nous résolvons le problème en utilisant des techniques de calcul des variations en raison du problème résultant du manque de convexité et de coercivité strictes du Hamiltonien par rapport à la variable de quantité de mouvement. Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur les systèmes de contrôle affine sans dérive (de type sous-riemannien). A la différence du cas de l'accélération, nous montrons qu'il existe une constante critique et que l'équation ergodique de Hamilton-Jacobi associée à une telle constante qui possède des solutions de viscosité continues. Pour cela nous faisons appel à la géométrie sous-riemannienne sur l'espace d'état. Toujours en utilisant les propriétés de cette géométrie, nous définissons le semi-groupe de Lax-Oleinink et nous prouvons l'existence d'un point fixe de ce semi-groupe. Nous concluons cette partie, et donc cette thèse, en étendant la célèbre théorie d'Aubry-Mather au cas du système de contrôle sous-riemannien. Nous montrons d'abord une formule de représentation variationnelle de la constante critique et, à partir de celle-ci, nous définissons l'ensemble de Mather et l'ensemble d'Aubry. En utilisant une approche dynamique, nous étudions les propriétés analytiques et topologiques de tels ensembles comme, par exemple, la différentiabilité horizontale de la solution critique en tout point se trouvant dans l'un des deux ensembles. Enfin, nous appliquons ces résultats pour étudier le caractère bien posé du système MFG ergodique associé à de tels systèmes de contrôle.