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Titre : Estimation statistique pour les dynamiques collectives
Résumé : Cette thèse présente quatre problèmes d'évaluation et d'optimisation en mathématiques financières. Les trois premiers problèmes sont complètement résolus et le quatrième est en cours. Dans la première partie, nous considérons le problème de couverture en présence de mesures de risque dynamiques définies sur l'espace L0 des variables aléatoires. En particulier, nous fournissons une condition de non arbitrage (NA) sous laquelle le prix de couverture du risque est atteint. Nous prouvons ensuite une version du théorème fondamental de l'évaluation des actifs et une caractérisation duale des prix de couverture du risque d'une option européenne. Enfin, nous donnons un exemple où la représentation duale de la mesure de risque sur L0. Dans la seconde partie, nous résolvons un problème classique de caractérisation des prix des options européennes dans des modèles de marchés financiers avec coûts de transaction. Pour ce faire, nous prouvons d'abord une version générale du principe de programmation dynamique (DPP) pour l'infimum essentiel conditionnel. Nous introduisons ensuite une condition NA faible sous laquelle le DPP est implémentable. Dans la troisième partie, nous appliquons le résultat théorique établi dans la deuxième partie en fournissant un algorithme pour calculer les prix de super-couverture en pratique. De plus, les prix exacts seront déduits pour le cas du coût de transaction proportionnel et le cas du coût fixe. Dans la dernière partie, nous présentons nos avancées actuelles sur la problématique d'optimisation de portefeuille sous contrainte de risque de crédit. Notre problème s'inscrit dans le cadre du contrôle optimal sous contraintes cibles stochastiques.
