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Dans cette thèse, nous étudions la théorie générale du modèle de dimères, et les conséquences de cette théorie sur d'autres modèles de mécanique statistique que l'on peut obtenir en utilisant des égalités combinatoire.
Cette thèse contient trois parties relativement indépendantes.
Dans la première, nous établissons une nouvelle correspondance entre le modèle de forêts couvrantes et un modèle de dimères, dans l'esprit de la bijection de Temperley.
Bien que notre correspondance ne soit pas une bijection, nous obtenons des égalités reliant ces deux modèles.
Cette correspondance nous amène à développer une théorie de l'holomorphie massique discrète.
En utilisant cette théorie dans le régime presque critique, nous démontrons l'universalité de la limite d'échelle, et nous travaillons à l'identification de cette limite d'échelle, dans un cadre très général où la masse est autorisée à varier.
Dans une deuxième partie, nous étudions un modèle semblable au modèle de doubles dimères.
A la différence de ce dernier, notre modèle est composé de cycles, d'arêtes doubles, mais aussi d'arcs reliant entre eux des sommets du bord.
Il est conjecturé que ces arcs convergent vers le Arc Loop Ensemble.
Nous établissons des résultats d'invariance conforme de ces arcs dans la limite d'échelle et une identification partielle de la loi limite.
Dans une troisème partie, nous établissons un résultat de dichotomie pour le modèle loop $O(1)$ à $x = infty$.
Notre outil principal est une connection entre ce modèle et le modèle de dimères sur le réseau hexagonal.
Pour établir notre résultat principal, nous mélangeons les outils de percolation utilisés habituellement dans l'étude du modèle loop $O(n)$ avec des outils de dimères, de nature très différente.
Béatrice TAUPINART DE TILIERE, Professeur des universités, Université Paris Dauphine-PSL, Directeur de thèse
Sunil CHHITA, Associate professor, Durham University, Rapporteur
Adrien KASSEL, Chargé de recherche, ENS Lyon, Rapporteur
Marcin LIS, Associate professor, TU Wien, Co-encadrant de thèse
Alexander GLAZMAN, Associate professor, University of Innsbruck, Co-encadrant de thèse
Eveliina PELTOLA, Associate professor, University of Bonn, Examinateur
Cédric BOUTILLIER, Professeur, Sorbonne Université, Examinateur
