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L’étude de la mécanique statistique et en particulier des systèmes désordonnés en mécanique statistique a constitué l’essentiel de mon travail de thèse. Dans ce manuscrit, je présenterai deux problèmes distincts, tous deux portant sur des modèles de systèmes fortement désordonnés de particules en interaction. Je me suis intéressée aux propriétés que présentent ces modèles relatives au transport d’énergie hors d’équilibre. Le désordre dans un système modifie fondamentalement la dynamique de celui-ci, ce qui explique l’intérêt que suscitent ces types de modèles tant parmi la communauté mathématique que physique. A ce jour, de nombreuses questions ouvertes persistent dans ce domaine. Le premier modèle que j’ai étudié concerne la propagation de paquets d’ondes dans un réseau unidimensionnel régi par l’équation de Schrödinger discrète non linéaire désordonnée (DNLS). L’obtention d’une loi d’échelle pour le transport dans ce modèle suscite un intérêt fort au sein de la communauté mathématique. La localisation joue ici un rôle important, car la partie linéaire de DNLS est un isolant d’Anderson et n’induit donc aucun transport. Aux temps longs, le terme non linéaire restant agit comme une petite perturbation. Cette structure fait de DNLS un modèle intéressant pour comprendre l’effet de termes de transport perturbativement petits sur un Hamiltonien classique localisé. Il est communément admis que les systèmes classiques en interaction ne peuvent pas être localisés. C’est la raison pour laquelle l’on s’attend à ce que la nonlinéarité détruise la localisation et induise un transport d’énergie, mais la question de la loi d’échelle pour ce type de transport n'a pas encore été résolue. En particulier, il existe des incohérences entre les résultats numériques et théoriques, dont nous discuterons plus loin. Au chapitre 2, nous montrons que la propagation d’un paquet d’ondes initialement localisé le long d’une chaîne régie par l’équation de DNLS est plus lente qu’une loi de puissance. Le second problème que je présenterai dans cette thèse porte sur le phénomène de localisation multi-corps (many-body localization, MBL). La localisation multi-corps est une propriété surprenante que possèdent certains systèmes qui ne parviennent pas à atteindre l’équilibre thermique malgré la présence d’interactions internes, lesquelles sont pourtant supposées permettre le transport d’énergie. Le phénomène fut initialement étudié dans l’espoir d’obtenir une généralisation de la localisation de Anderson, qui en est le pendant à une seule particule. Cependant, tandis que la localisation de Anderson est relativement bien étudiée et comprise sur le plan théorique, et que des preuves de ce phénomène ont été obtenues dans certains régimes, le cas des systèmes multi-corps en interaction présente des difficultés techniques importantes et aucune preuve rigoureuse n’a encore été établie. Au chapitre 3, nous proposons une preuve de l’annulation de la conductivité dans un modèle robuste de chaîne de spin unidimensionnelle. Nous espérons que cela puisse conduire à une démonstration complète de MBL dans un tel modèle ; cependant, une preuve théorique rigoureuse de l’absence de conductivité représente en elle-même un progrès significatif dans le domaine. Notre travail s’inspire fortement de l’approche par le groupe de renormalisation proposee par John Z. Imbrie.
M. François HUVENEERS, Reader, King's College London, Directeur de thèse
Mme Simone WARZEL, Professeur, Technische Universität München, Rapporteure
M. Djalil CHAFAI, Professeur, Université Paris Dauphine – PSL, Examinateur
M. Nicolas ROUGERIE, Directeur de recherche, École Normale Supérieure de Lyon, Examinateur
M. Clément TAUBER, Maître de conférences, Université Paris Dauphine – PSL, Examinateur
Mme Wei-Min WANG, Directeur de recherche, CY Cergy Paris Université, Rapporteure
