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Cette thèse s’inscrit dans le domaine de l’analyse des données fonctionnelles, c’est-à-dire l’étude statistique de courbes aléatoires. On y étudie comment les mécanismes d’observation et les choix de représentation influencent la construction, l’estimation et l’utilisation des composantes principales fonctionnelles. Elle traite deux situations complémentaires : l’estimation d’une cible fonctionnelle lorsque les trajectoires de processus stochastiques sur [0,1] sont observées imparfaitement, et la construction de coordonnées fonctionnelles pour des processus ponctuels répliqués sur [0,1], dont les réalisations sont entièrement observées. La première partie considère n fonctions aléatoires observées uniquement aux p points d’une grille commune et de façon bruitée. Elle montre que la régularité du noyau de covariance ne suffit pas à garantir l’estimation minimax de ses fonctions propres : leur stabilité dépend aussi de quantités spectrales, notamment de la séparation autour du rang considéré. Des bornes inférieures minimax distinguent alors l’erreur d’échantillonnage, l’erreur de discrétisation et la difficulté spectrale. Le risque fait apparaître un terme inversement proportionnel au nombre de courbes, auquel s’ajoute un terme de discrétisation inversement proportionnel à p élevé à deux fois l’indice de régularité. Un estimateur par projection sur une base de coiflets atteint cette dépendance minimax optimale en taille d’échantillon et en résolution de grille pour différentes régularités. Des simulations illustrent la transition entre les régimes dominés par l’échantillonnage et par la discrétisation conformément à la théorie. La seconde partie porte sur des processus ponctuels répliqués sur [0,1], représentés par leurs fonctions de comptage cumulées. À partir de ce plongement, la thèse exploite le modèle de Poisson inhomogène pour construire une géométrie intrinsèque liée à la mesure moyenne. Dans cette géométrie, la covariance cumulative admet une diagonalisation explicite. La loi jointe des D premiers scores d’ACP dans cet espace est caractérisée comme une loi de Poisson composée. À dimension fixée, une approximation gaussienne en variation totale est obtenue lorsque le nombre moyen d’événements augmente ; son erreur décroît comme l’inverse de la racine carrée de ce nombre moyen. La thèse présente ensuite des estimateurs de ces scores dont le risque quadratique décroît comme l’inverse du nombre de répliques, pour un nombre fixé de coordonnées. Cette construction est adaptée à la classification binaire de processus ponctuels sur [0,1] : les observations sont projetées sur les D premiers scores définis dans une référence commune, puis comparées par une règle d’analyse discriminante quadratique. Une borne contrôle l’excès de risque par rapport à la règle de Bayes de l’expérience projetée sur ces D scores. Des simulations et une étude exploratoire de catalogues de séismes complètent l’analyse.
This thesis lies in the field of functional data analysis, that is, the statistical study of random curves. It investigates how observation mechanisms and representation choices influence the construction, estimation, and use of functional principal components. It addresses two complementary settings: the estimation of a functional target when the sample paths of stochastic processes on [0,1] are imperfectly observed, and the construction of functional coordinates for replicated point processes on [0,1] whose realizations are fully observed. The first part considers n random functions observed only at p points on a common grid and corrupted by noise. It shows that the regularity of the covariance kernel is not sufficient to ensure consistent estimation of its eigenfunctions in the minimax sense: their stability also depends on spectral quantities, in particular on the separation around the target rank. Minimax lower bounds then distinguish the contributions of sampling error, discretization error, and spectral difficulty. The risk contains a term inversely proportional to the number of curves, together with a discretization term inversely proportional to p raised to twice the regularity index. A projection estimator based on a Coiflet basis achieves the optimal minimax dependence on sample size and grid resolution across different regularity levels. Simulations illustrate the transition between sampling-dominated and discretization-dominated regimes, in agreement with the theory. The second part concerns replicated point processes on [0,1], represented by their cumulative counting functions. Building on this embedding, the thesis uses the inhomogeneous Poisson model to construct an intrinsic geometry linked to the mean measure. In this geometry, the cumulative covariance admits an explicit diagonalization. The joint distribution of the first D principal component scores in this space is characterized as a compound Poisson distribution. For fixed dimension, a Gaussian approximation in total variation is obtained as the expected number of events increases; its error decreases as the inverse square root of this expected number. The thesis then presents estimators of these scores whose mean squared risk decreases as the inverse of the number of replicates, for a fixed number of coordinates. This construction is adapted to the binary classification of point processes on [0,1]: observations are projected onto the first D scores defined in a common reference system and then compared using a quadratic discriminant analysis rule. A bound controls the excess risk relative to the Bayes rule of the projected experiment based on these D scores. Simulations and an exploratory study of earthquake catalogues complement the analysis.
Vincent RIVOIRARD, Professeur des universités, Université Paris Dauphine - PSL, Directeur de thèse
M. André MAS, Professeur des universités, Université de Montpellier, Rapporteur
Mme Fabienne COMTE, Professeur des universités, Université Paris Cité, Rapporteure
Mme Angelina ROCHE, Professeur des universités, Université Paris Cité, Co-directrice de thèse
M. Franck PICARD, Directeur de recherche CNRS, Co-directeur de thèse
Mme Madalina OLTEANU, Professeur des universités Université Paris Dauphine-PSL Examinatrice
Mme Sophie DABO, Professeur des universités, Université de Lille, Examinatrice
M. Valentin PATILEA, Professeur des universités, ENSAI – CREST, Examinateur
