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La modélisation de la volatilité occupe une place centrale en mathématiques financières, car elle mesure l’intensité et la persistance de l’incertitude dans les prix des actifs et conditionne leur évolution future. Les observations empiriques récentes montrent que la volatilité présente une forte irrégularité aux échelles fines — appelée rugosité — ainsi que des fluctuations invariantes par changement d’échelle caractéristiques d’un comportement multifractal. Ces propriétés dépassent le cadre des modèles classiques de volatilité stochastique fondés sur des diffusions et nécessitent un formalisme probabiliste capable d’intégrer simultanément rugosité, dépendance de longue portée et effets d’agrégation entre actifs et échelles temporelles. Au coeur de cette thèse se trouve le modèle Log S-fBM, qui constitue un cadre unificateur reliant les modèles modernes de volatilité rugueuse aux mesures aléatoires multifractales. En paramétrant la covariance de la log-volatilité à l’aide d’un exposant de Hurst, d’un coefficient d’intermittence et d’une échelle de corrélation, ce modèle permet d’interpoler entre dynamiques de volatilité rugueuse et modèles multifractals à corrélation logarithmique lorsque l’exposant de Hurst tend vers zéro. Cette approche met en évidence des liens profonds entre la volatilité rugueuse contemporaine et les constructions issues des cascades aléatoires continues et du chaos multiplicatif gaussien. Un axe central du travail concerne l’impact de l’agrégation et de la dépendance. Alors que les volatilités individuelles apparaissent extrêmement rugueuses, les quantités agrégées, telles que les indices boursiers, présentent des dynamiques plus régulières. La thèse propose un modèle structuré où la log-volatilité se décompose en composantes commune et idiosyncratique possédant des régularités distinctes. Cette idée est étendue à une version multidimensionnelle du Log S-fBM, dans laquelle la dépendance entre actifs est décrite par des matrices de co-Hurst et de co-intermittence, permettant une modélisation conjointe de la rugosité, de la multifractalité et des interactions entre actifs. Sur le plan méthodologique, la thèse se concentre sur le régime de faible intermittence, cohérent avec les données empiriques. En exploitant la petitesse de ces paramètres, elle développe des approximations ramenant les mesures de log-volatilité à des équivalents gaussiens tractables, facilitant l’estimation statistique et l’inférence. Ces approximations sont étudiées théoriquement et empiriquement, avec un contrôle explicite du biais d’estimation dans des cadres univariés et multivariés. Enfin, la nature non markovienne de ces modèles pose des défis computationnels importants, notamment pour la simulation des processus de Volterra. La thèse introduit des schémas de simulation accélérés fondés sur les Random Fourier Features, exploitant la structure spectrale du noyau de covariance du S-fBM afin de réduire fortement la complexité numérique tout en préservant les effets de mémoire. Associées à une analyse rigoureuse des erreurs, ces méthodes rendent possibles des simulations de Monte Carlo à grande échelle. Dans son ensemble, ce travail propose un cadre probabiliste et statistique cohérent unifiant rugosité, multifractalité et dépendance multi-actifs, contribuant à la fois à la théorie des processus stochastiques non markoviens et à leurs applications en finance quantitative pour la modélisation du risque et des dynamiques de marché.
Volatility modeling plays a central role in financial mathematics, as it measures the magnitude and persistence of uncertainty in asset prices and strongly influences market dynamics. Empirical evidence shows that volatility exhibits extreme irregularity at fine time scales—known as roughness—together with scale-invariant fluctuations resembling multifractal behavior. These properties challenge classical diffusion-based stochastic volatility models and require probabilistic frameworks capable of capturing rough paths, long-range dependence, and aggregation effects across assets and time scales. This thesis develops such a framework through the Log Stationary Fractional Brownian Motion (Log S-fBM) model, which unifies rough volatility models with multifractal random measures. The model parameterizes logvolatility using a Hurst exponent, an intermittency parameter, and a correlation scale. It interpolates between rough volatility dynamics and logarithmically correlated multifractal models, thereby revealing deep links between modern rough volatility theory and earlier constructions based on continuous random cascades and Gaussian multiplicative chaos. A key focus is the role of aggregation and dependence in volatility dynamics. While individual asset volatilities appear extremely rough, aggregated quantities such as equity indices are empirically smoother. The thesis proposes models where log-volatility decomposes into common and idiosyncratic components with different regularities. This idea is extended to a multidimensional Log S-fBM framework, introducing coHurst and cointermittency matrices to encode cross-asset dependence and jointly model roughness and multifractality across assets. Methodologically, the work emphasizes the empirically relevant small-intermittency regime. By exploiting the smallness of intermittency parameters, the thesis develops approximation techniques that replace complex log-volatility measures with tractable Gaussian counterparts, enabling efficient statistical estimation and inference. These approximations are studied theoretically and empirically, with explicit control of estimation bias in both univariate and multivariate settings. Because rough and multifractal volatility models are inherently non-Markovian, simulation poses major computational challenges. The thesis addresses this by studying stochastic Volterra processes and proposing accelerated simulation methods based on Random Fourier Features. Using the spectral structure of the S-fBM covariance kernel, these methods significantly reduce computational complexity while preserving memory effects, supported by rigorous error analysis and enabling large-scale Monte Carlo simulations. Overall, the thesis provides a unified probabilistic and statistical framework for volatility modeling that integrates roughness, multifractality, and cross-asset dependence. It advances both the theoretical understanding of non-Markovian stochastic processes and their practical implementation in quantitative finance, opening new directions for modeling volatility, risk, and market interactions.
M. Emmanuel BACRY, Directeur de recherche, Université Paris Dauphine – PSL, Directeur de thèse
M. Samuel COHEN, Professeur, University of Oxford, Rapporteur
Mme Giulia LIVIERI, Professeur, London School of Economics and Political Science, Rapporteure
M. Marc HOFFMANN, Professeur, Université Paris Dauphine – PSL, Examinateur
M. Mathieu ROSENBAUM, Professeur, Université Paris Dauphine – PSL, Examinateur
M. Jean-François MUZY, Directeur de recherche, Université de Corse, Co-directeur de thèse
M. Jean-Philippe BOUCHAUD, Professeur, Académie des sciences et CFM, Examinateur
