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Cette thèse étudie le transport optimal régularisé par entropie et des modèles connexes de populations en interaction. Grâce à l'entropie relative, le transport optimal entropique combine dualité convexe, représentations de type Gibbs et algorithmes de type Sinkhorn. L'objectif est de comprendre comment ces structures s'étendent au-delà du cadre classique de Kantorovich, sous contraintes de martingale, coûts latents, interactions non linéaires et effets stratégiques de population. La première partie développe des extensions structurées du transport optimal entropique. Nous étudions le transport optimal martingale entropique, motivé par la finance robuste et la calibration de modèles de volatilité stochastique, où la contrainte de martingale encode l'absence d'arbitrage par une condition de moment conditionnel. Nous dérivons la formulation duale, identifions une structure de Gibbs avec un multiplicateur de martingale, et prouvons la convergence d'un algorithme de type Sinkhorn, incluant l'atteinte du dual, la construction de l'optimiseur primal et l'absence d'écart primal-dual. Nous considérons ensuite l'EOT à coût latent : à partir d'échantillons d'un couplage optimal de référence, les conditions d'optimalité relatives éliminent le coût inconnu et donnent une relation de basculement additive entre couplages. Cela conduit à un algorithme de basculement le long d'un chemin avec Conditional Flow Matching, produisant des échantillonneurs de données appariées pour de nouvelles marginales avec une garantie de convergence en $O(delta)$. La seconde partie étudie les effets d'interaction. Nous introduisons le transport optimal entropique avec coûts fonctionnels convexes, où le coût effectif dépend de l'organisation globale de la masse transportée. Nous prouvons la bonne formulation du problème, dérivons une condition de point fixe de Gibbs non linéaire, et introduisons une dynamique de Sinkhorn--Frank--Wolfe avec convergence exponentielle. Enfin, nous étudions la concurrence des taux d'intérêt bancaires à travers un jeu à champ moyen majeur--mineur avec contrôle impulsionnel, et approximons l'équilibre de Nash correspondant par une méthode de réseau profond de Q-valeurs avec moyennisation de type fictitious play. Dans l'ensemble, cette thèse montre que l'entropie peut servir de principe structurel pour les modèles de transport et de population, en préservant dualité, représentations de Gibbs et schémas itératifs traitables au-delà du cadre classique.
This thesis studies entropy-regularized optimal transport and related models of interacting populations. Entropic optimal transport combines convex duality, Gibbs-type representations, and Sinkhorn-type algorithms through relative entropy. The aim is to understand how these structures extend beyond the classical Kantorovich setting, under martingale constraints, latent costs, nonlinear interactions, and strategic population effects. The first part develops structured extensions of entropic optimal transport.
We study entropic martingale optimal transport, motivated by robust finance and stochastic volatility calibration, where the martingale constraint encodes no-arbitrage through a conditional moment condition. We derive the dual formulation, identify a Gibbs structure with a martingale multiplier, and prove convergence of a Sinkhorn-type algorithm, including dual attainment, construction of the primal optimizer, and absence of primal-dual gap. We then consider latent-cost EOT: from samples of a reference optimal coupling, the relative optimality conditions eliminate the unknown cost and yield an additive tilting relation between couplings. This leads to a path-wise tilting algorithm with Conditional Flow Matching, producing paired samplers for new marginals with an $O(delta)$ convergence guarantee. The second part studies interaction effects. We introduce entropic optimal transport with convex functional costs, where the effective cost depends on the global organization of transported mass. We prove wellposedness, derive a nonlinear Gibbs fixed-point condition, and introduce a Sinkhorn--Frank--Wolfe dynamics with exponential convergence. Finally, we study bank interest-rate competition through a major--minor impulse control mean-field game and approximate the resulting Nash equilibrium by a deep Q-network method with fictitious-play averaging. Overall, the thesis shows that entropy can serve as a structural principle for transport and population models, preserving duality, Gibbs representations, and tractable iterative schemes beyond the classical framework.
M. Zhenjie REN, Professeur des universités, Université Paris-Saclay GS Mathématiques, Co-directeur de thèse
Mme Renyuan XU, Assistant professor, Stanford University, Rapporteure
M. Giovanni CONFORTI, Associate professor, Università degli Studi di Padova, Co-directeur de thèse
M. Atsushi NITANDA, Associate professor, Nanyang Technological University, Rapporteur
M. Huyên PHAM, Professeur des universités, École Polytechnique, Examinateur
Mme Roxana DUMITRESCU, Professeur des universités, ENSAE Paris / CREST, Institut Polytechnique de Paris, Examinatrice
M. Stéphane VILLENEUVE, Professeur des universités, Université Toulouse Capitole / Toulouse School of Economics, Examinateur
Mme Yating LIU, Maître de conférences, Université Paris Dauphine-PSL / CEREMADE, Examinatrice
