Formation

Les étudiants doivent valider les 4 cours fondamentaux, ainsi que 6 cours optionnels répartis dans les 3 rubriques de spécialisation différentes (1 dans Processus stochastiques et Méthodes numériques, 1 dans Economie et jeux, 1 dans Finance et gestion des risques, les 3 restant au choix parmi tous les cours optionnels). Chacun de ces cours optionnels peut être remplacé par un cours pris à l’UMPC dans le cadre d’un partenariat avec la spécialité de Master 2 Master de Sciences & Technologies, majeure Contrôle, Optimisation, Calcul des Variations , voir liste ci-dessous.

Les étudiants peuvent opter pour le parcours Projet Individuel. Dans ce cas, ils n’ont que 4 cours optionnels à valider, choisis parmi l’ensemble des cours optionnels sans restriction.  En revanche, ils doivent réaliser un travail de recherche fondamentale sous la direction d’un enseignant-chercheur en mathématiques appliqués spécialisé dans l’une des thématiques enseignées au Masef. Ce travail donne lieu à la rédaction d’un mémoire dont le niveau technique doit être avancé. Les étudiants souhaitant effectuer une thèse sont très fortement encouragés à suivre ce programme.
Dans la liste ci-dessous, ENS (resp. ECP) signifie que le cours a lieu à l’ENS (resp. l’ECP). Les autres cours ont lieu à Dauphine (possiblement dans le cadre du Master 104 ou du Master 222).


COURS FONDAMENTAUX

  • Calcul stochastique (H. Doss)
  • Contrôle stochastique (P. Cardaliaguet)
  • Evaluation d’actifs financiers et arbitrage (X. Tan)
  • Méthodes de Monte-Carlo et méthodes déterministes pour les équations paraboliques (J. Claisse)

COURS OPTIONNELS

Ils sont répartis en trois blocs thématiques. Les étudiants doivent en valider un total de 6, dont 1 au moins dans chaque bloc.

Processus stochastiques et Méthodes numériques

  • Processus à sauts (C. Labbé)
  • Optimisation – et applications en apprentissage –  (A. d’Aspremont / ENS)
  • Machine learning in finance (P. Brugière)
  • Modélisation à haute-fréquence (E. Bacry)

Economie et jeux

  • Théorie de jeux à champs moyens (P. Cardaliaguet)
  • Théorie des jeux : applications en économie et en finance ( M. Oliu Barton )
  • Problèmes variationnels et de transport en économie (G. Carlier)
  • Microstructure des marchés financiers (F. Riva/M104)
  • Fondamentaux macro-économiques de la gestion de portefeuille (O. Davanne/M222)
  • Stochastic control and energy markets (R. Aid)

Finance et gestion des risques

  • Cycle de conférences : stratégies et acteurs de la gestion de portefeuille (Org. C.-A. Lehalle , Capital Fund Management)
  • Techniques de calibration ( F. Abergel/ECP)
  • Structure par terme et marchés dérivés des matières premières (D. Lautier)
  • Pratique des produits structurés en finance et assurance (A. Kalife)
  • Gestion globale des risques VAR (E. Iguzguiza)
  • Modèles de taux d’intérêt (S. Hénon)

COURS ADDITIONNELS (partenariat UPMC)

Dans le cadre d’un partenariat avec la spécialité de Master 2 Master de Sciences & Technologies, majeure Contrôle, Optimisation, Calcul des Variations de l’UMPC, les étudiants peuvent suivre, après autorisation préalable du responsable du Masef, les cours suivants.

Chacun de ces cours compte comme un cours optionnel et peut être attribué à n’importe quel bloc des cours optionnels ci-dessus.


Les étudiants doivent également effectuer un stage d’au moins 4 mois dans une entreprise ou dans un laboratoire de recherche.
Nous encourageons les étudiants à suivre un maximum de cours, même s’ils ne sont pas validés, afin d’accroitre leur culture générale et leurs connaissances techniques. Ceci concerne tout particulièrement celles et ceux souhaitant poursuivre le Master par une thèse.
Une formation au langage C++/VBA, facultative, est proposée. La maîtrise de ce langage est indispensable à la validation des cours à vocation numérique.
Les étudiants de l’ENSAE-ParisTech, de l’Ecole Centrale Paris et de l’EISTI bénéficient d’un aménagement du contrôle des connaissances.


Détail des cours

Calcul stochastique (36h + 15h TD par Z. Ren)

Ce cours fondamental présente en profondeur le calcul stochastique pour les semi-martingales continues. La seconde partie est consacrée aux EDS Browniennes et aux liens avec les EDP. Il est complété par le cours »Processus à sauts ». Il fait l’objet d’un polycopié.

  • Rappels de probabilité.
  • Processus aléatoires, mouvement brownien, semi-martingales
    continues.
  • Intégrale stochastique, formule d’Itô pour les semi-martingales et théorème de Girsanov.
  • Equations différentielles stochastiques, processus de diffusion.
  • Formule de Feynman-Kac et liens avec l’équation de la chaleur.
  • Représentation probabiliste de la solution du problème de Dirichlet.

Contrôle stochastique (18h + 6h TD par P. Gassiat)

Les EDP et les problèmes de contrôle stochastique apparaissent naturellement en contrôle des risques, évaluation d’option, calibration, gestion de portefeuille, liquidation optimale d’ordre,… L’objectif de ce cours est d’étudier les techniques fines associées et notamment de présenter en profondeur la notion de solutions de viscosité qui s’est imposée ces dernières années. Il fait l’objet d’un polycopié.

  • Lien entre espérance conditionnelle et EDP linéaire parabolique.
  • Formulation de problèmes de contrôle stochastique standards : Principe de la programmation dynamique.
  • Equation de Hamilton-Jacobi-Bellman
  • Approche par vérification
  • Solutions de viscosité (définitions, existence, comparaison)
  • Application à la gestion de portefeuille, aux problèmes d’arrêt optimal et de switching.

Evaluation d’actifs financiers et arbitrage (24h + 6h TD par E. Abi Jaber)

L’objectif de ce cours est de fournir aux étudiants les bases
mathématiques solides nécessaires à la compréhension des modèles et
techniques d’évaluation d’option et de couverture des risques. Il fait
l’objet d’un polycopié.

  • Marchés financiers en temps discret
    – Rappels sur le modèle de Cox-Ross-Rubinstein
    – Evaluation et couverture d’options européennes
    – Evaluation et couverture d’options américaines, stratégie d’exercice optimale
    – Passage à la limite et approximation du modèle de Black et Scholes
  • Marchés financiers en temps continu
    – Modélisation mathématique
    – Théorèmes fondamentaux d’absence d’opportunité d’arbitrage : Arbitrage vs No Free Lunch with Vanishing Risk
    – Evaluation et couverture des options européennes (approche
    probabiliste et par EDP pour les options vanilles, asiatiques et à barrière)
    – Options américaines (approche probabiliste et par EDP)
    – Gestion optimale de portefeuille et minimization de risque (approche probabiliste)
    – Modélisation de la volatilité et couverture (Dupire, tracking error, Heston, CEV, SABR,…)
    – Techniques de changement de numéraire et concept de mesure forward neutre
    – Couverture semi-statique (exemple du swap de variance)
    – Evaluation par transformation de Fourrier

Jump Processes (18h + 6h TD par E. Abi Jaber)

This lecture will be devoted to basic notions of jump processes and applications:

  • Poisson point processes, compound Poisson point process,
  • Levy processes, geometrical Levy processes
  • Poisson random measures,
  • Levy-Khintchine decomposition
  • Ito-Levy formula for semi-martingales with jumps
  • Equivalence of measures, Doleans-Dade’s exponential, Girsanov theorem
  • Hawkes processes

Méthodes de Monte-Carlo et  méthodes déterministes pour les équations paraboliques (30h + projets)

Ce cours présente en profondeur les principales techniques d’évaluation d’options par technique de Monte-Carlo, ainsi que les méthodes de différences finies pour les équations paraboliques. Il fait l’objet d’un polycopié.

  • Généralités sur les méthodes de Monte-Carlo
    1. Généralités sur la convergence des estimateurs des moments
    2. Générateurs de loi uniforme
    3. Simulation d’autres lois (méthode de rejet, transformation, ….)
    4. Suites à discrépance faible
  • Simulation de processus et discrétisation de payoff
    1. Modèle de Black-Scholes
    2. Discrétisation d’EDS
    3. Ponts de diffusions et applications aux options
    asiatiques, à barrière et lookback.
  • Méthodes de réduction de variance
    1. Contrôle antithétique
    2. Régularisation de payoff
    3. Variable de contrôle
    4. Importance sampling
  • Calcul des sensibilités (grèques)
    1. Approches par différences finies
    2. Grèques dans le modèle de Black-Scholes
    3. Processus tangent et grèques
    4. Calcul de Malliavin et grèques
  • Calcul d’espérances conditionnelles et évaluation d’options
    américaine
  • Méthodes de différences finies
    1. Conditions générales de stabilité et de convergence
    2. Exemples de schémas: équations linéaires, problèmes variationnels, équations d’Hamilton-Jacobi-Bellman.

Optimisation – et applications en apprentissage – (18h)

L’objectif de ce cours est d’apprendre à reconnaître, manipuler et résoudre une classe relativement large de problèmes convexes émergents dans des domaines comme, par exemple, l’apprentissage, la finance ou le traitement du signal. Les principaux thèmes abordés sont:
1. Ensembles, fonctions et programmes convexes.
2. Théorie de la dualité.
2. Algorithme de Newton.
3. Contraintes, barrières, méthodes de points intérieurs, self-concordance et complexité.
4. Méthodes du premier ordre, accélération.
5. Applications en statistique, apprentissage, finance, traitement du signal.
6. Combinatoire, relaxations convexes.

Machine learning in finance (21h)

Some Statistical Learning results are presented and applied in credit rating and for anomalies detection. The principal notions presented in the context of these two case studies in finance are:

  • Introduction to Statistical learning:  The Vapnik Chervonenkis dimension, PAC Learning and the Calibration versus Prediction paradigm.
  • SVMs and Supervised Learning: SVM and maximum margin SVM classifiers and their VC dimensions, Mercer’s theorem and the Kernel trick,
    C-SVMs, mu-SVMs, A few words on SVMs for regressions.
  • SVMs and Unsupervised Learning: Single class SVMs, clustering, anomaly detection, Equivalence of different approaches via duality.
  • Introduction to Random Forests and Ensemble Methods: Bias variance Tradeoff, Bootstrap method, Model selection, pruning: Gini and entropy measures
  • Introduction to Neural Networks: Backpropagation, conjugate functions
    Different type of architectures, deep learning.
  • Remarks on Parsimony: The Linear Model with Ridge and Lasso penalisations, Dual interpretation of Lasso.

Théorie de jeux à champs moyens (18h)

Les jeux de champ moyen sont une théorie nouvelle développée par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions qui traduit la limite quand le nombre de joueurs tend vers l’infini dans des jeux différentiels stochatiques. Cela donne lieu a un système nouveau d’équations aux dérivées partielles couplant une équation d’Hamilton-Jacobi (backward) à une équation de Fokker-Planck (forward). Nous présenterons dans ce cours quelques résultats d’existence, d’unicité et les connections avec le contrôle optimal, le transport de masse et certaines équations aux dérivées partielles posées sur l’espace des mesures de probabilité.

Game theory, applications in economics and finance (18h)

The first part deals with the basics of game theory, the second one with applications in economics and finance. There will only be time to study 2 of the 3 applications (to be decided).

  • Basics of game theory :
    1. Zero-sum games : value, optimal strategies, saddle points, minmax theorem.
    2. N players normal form games : equilibria in dominant strategies, Nash equilibria, dominated strategies, Nash’s existence theorem.
    3. Extensive form : backward induction, subgame perfection, theorem of Kuhn-Zermelo, behavior strategies and Kuhn’s theorem.
  • Applications :
    4. Repeated games and cooperation, folk theorems.
    5. Zero-sum repeated games with incomplete information on one side (Aumann-Maschler’s model). Splitting lemma, unifom value.
    6. Zero-sum stochastic games : dynamic structure, Shapley operator, theorems of Bewley-Kohlberg and Mertens-Neyman.

Problèmes variationnels et de transport en économie (15h)

1. Dualité
2. Transport Optimal
3. Applications économiques du transport
4. Calcul des variations
5. Le problème principal-agent

Microstructure des marchés financiers (15h)

Première partie : typologie des organisations de marchés
1. Marchés dirigés par les ordres
2. Marchés dirigés par lesprix
3. Structures hybrides
4. Evolutions récentes (MTF, CN, dark pools, market making électronique, etc.)

Deuxième partie : modélisation
1. Formation des prix sur un marché de contrepartie : Paradigmes de la position et de l’asymétrie d’information
2. Formation des prix sur les marchés dirigés par les ordres : Modèles statiques et dynamiques.

Troisième partie : aspects empiriques
1. Coûts de transaction implicites
2. Prix et information
3. Risque de liquidité

Fondamentaux macro-économiques de la gestion de
portefeuille (18h)

Les gestionnaires de portefeuille ont besoin de posséder certaines connaissances macroéconomiques de base pour mieux fonder leurs décisions d’investissement. La valeur dite fondamentale des différents actifs financiers ne peut être analysée sans une prise en compte des évolutions macroéconomiques prévisibles à moyen et long terme. De plus, les performances de court terme des différentes classes d’actifs financiers dépendent crucialement des indicateurs macro-économiques, notamment en matière d’inflation et de croissance. Ce cours présentera notamment les méthodes dominantes utilisées par les praticiens de marché (économistes de marché, gestionnaires…) pour analyser et anticiper les évolutions macro-économiques, ainsi que les inflexions de politique monétaire. Il a une vocation appliquée et vise à donner à de futurs gestionnaires une bonne connaissance des instruments pratiques de prévision macroéconomique ainsi que des indications sur la meilleure façon d’utiliser ces instruments pour améliorer la performance de leur gestion.

Stochastic control and energy markets (15h)

Energy markets are a natural field of applications for stochastic control modelling framework. Historical applications go from water management to the pricing of swing and demand-side contracts. With the deregulation of electricity and gas markets, new applications have raised the attention of financial economists. In particular, the question of the optimal investment in generation assets in the context of climate change and the questions linked to retail competition. These domains are conducive to the utilisation of stochastic differential games. This course is intended to provide a short introduction to the physics of energy market and extensive applications taken for financial and economical research papers. For their evaluation, students are expected to realised a study of a research paper for which they will provide a critical analysis of their understanding of the model, together with the reproduction of the results of the paper.

Techniques de calibration (21h)

1. Introduction : problématique de la calibration
2. Constitution d’une nappe de volatilité implicite admissible
3. Technique de calibration exacte : le cadre de la volatilité locale Dupire
4. Calibration non paramétrique par la méthode d’induction forward
5. Calibration par optimisation
6. Problèmes mal posés et techniques de régularisation.

Structure par terme et marchés dérivés des matières premières (18h)

1. The development of derivative markets
2. Normal backwardation theory
3. The theory of storage
4. The term structure of commodity prices: dynamic behaviour and models
5. Applications of term structure models: investment and dynamic hedging
6. Options on commodities

Pratique des produits structurés en finance et assurance (18h)

L’objectif de ce cours est double :

1. Entrainer les étudiants à l’évaluation pratique des produits dérivés et au contrôle des risques associés.
2. Les initier aux nouveaux produits struturés hybrides qui sont récemment apparus en assurance.

Modèles de taux d’intérêt (21h)

Ce cours est consacré aux modèles de taux d’intérêt à temps continu. Au travers de nombreux exemples, on décrit leur utilisation pour évaluer les produits dérivés sur taux d’intérêt.

Programme :
– Quelques outils de calcul stochastique : rappels. Formule d’Ito Changement de probabilité : définition, théorème de Girsanov, formule pour les espérances conditionnelles.
– Généralités sur les taux d’intérêt : Définitions : zéro-coupon, taux forward instantanés, taux court (ou taux spot) Modèles simples du taux court au travers de deux exemples : modèles de Vasicek et de CIR (Cox, Ingersoll et Ross). Modèles de Heath, Jarrow, Morton (HJM), probabilité risque-neutre, dynamique des zéro-coupon.
– Produits de taux classiques. Généralités : formule de Black, phénomènes associés à la courbe de volatilités, taux forward, swap, taux swap. Changement de numéraire et probabilités forward. Application : prix des produits vanilles, les caplets et les swaptions.
– Modèle LGM à un facteur.
– Modèle BGM (Brace, Gatarek et Musiela) / Jamishidian.
– Modèles à volatilité stochastique : Définition. Modèle SABR. Modèle d’Heston

Gestion globale des risques VAR (21h)

Ce cous porte sur l’analyse des modèles mathématiques du risque de marché, et l’étude des méthodes de gestion globales du risque de marché lorsque les sources d’incertitude sont multiples.

Les thèmes abordés sont : Modèles dynamiques pour les prix d’actifs financiers. Agrégation des risques, normalité, asymétrie, queues de distributions épaisses. La valeur risquée. Définition et méthodologies de calcul de la VaR (historiques, Monte Carlo, analytiques). Présentation de RiskMetrics de J.P. Morgan. Données, méthodologie, interprétations. Application. La cartographie de RiskMetrics, risque sur les instruments financiers comptants et produits dérivés. Estimation des matrices de variances-covariances, volatilités et corrélations.