Stages pour Licence et Master du CEREMADE

Cette page présente les stages proposés par les chercheurs du CEREMADE (laboratoire de mathématiques de l'université Paris-Dauphine), pour des niveaux pouvant aller du L3 au M2. Si vous êtes intéressés par l'un des sujets proposés, veuillez prendre contact par mail avec le chercheur correspondant.

Niveau M2

Schémas d'ordre deux en temps pour les flots de gradient dans les espaces métriques géodésiques

Contacts

Guillaume Legendre, guillaume.legendre@dauphine.fr

Gabriel Turinici, gabriel.turinici@dauphine.fr

Durée

3-6 mois

Description

La discrétisation temporelle d'un flot de gradient dans un espace métrique utilise généralement une version variationnelle du schéma d'Euler implicite apparue dans le travail séminal de Jordan, Kinderlehrer et Otto. Initialement introduite dans un but théorique, cette approche a depuis été employée pour la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles.

Récemment, une approche, inspirée par la méthode de Runge--Kutta de la règle du point milieu implicite et permettant de construire deux schémas d'ordre deux en temps, a été introduite et testée numériquement sur un cas simple de flot de gradient associée à une équation de Fokker--Planck dans un espace de Wasserstein.

Le but de ce stage est de tester cette approche, et éventuellement d'autres méthodes d'ordre supérieur, sur des problèmes faisant intervenir des dynamiques dans l'espace des mesures de probabilité. On pourra ainsi par exemple réaliser :

  • une investigation numérique des schémas sur un modèle de Patlak--Keller--Segel modifié en 1D,
  • une mise en œuvre de l'extrapolation dans un espace métrique utilisée par l'un des schémas,
  • une application des schémas à des modèles en dimension supérieure, en utilisant pour ce faire une régularisation entropique,
  • une application aux « jeux à champs moyen ».

Bibliographie

  1. J.-D. Benamou, G. Carlier, Q. Mérigot, and É. Oudet, Discretization of functionals involving the Monge-Ampère operator, Numer. Math., 134 (2016), pp. 611-636
  2. A. Blanchet, V. Calvez, and J. A. Carrillo, Convergence of the mass-transport steepest descent scheme for the subcritical Patlak-Keller-Segel model, SIAM J. Numer. Anal., 46 (2008), pp. 691-721
  3. R. Jordan, D. Kinderlehrer, and F. Otto, The variational formulation of the Fokker-Planck equation, SIAM J. Math. Anal., 29 (1998), pp. 1-17
  4. D. Kinderlehrer and N. J. Walkington, Approximation of parabolic equations using the Wasserstein metric, ESAIM Math. Model. Numer. Anal., 33 (1999), pp. 837-852
  5. G. Legendre and G. Turinici, Second-order in time schemes for gradient flows in Wasserstien and geodesic metric space, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 355 (2017), pp 345-353
illustration du sujet

Modélisation d'un nouveau traitement de certains cancers

Contacts

Yannick Viossat, viossat@ceremade.dauphine.fr

Durée

3 mois ou plus

Description

Dans certains cancers, des cellules cancéreuses de plusieurs types sont en compétition les unes avec les autres. On dispose d'un médicament qui permet d'éliminer uniquement certains types de cellules. Le traitement standard consiste à donner une forte dose de médicaments pour éliminer le maximum de cellules cancéreuses, mais cela aide les cellules résistantes au traitement à se développer. Un traitement innovant consiste à ne donner que des doses limitées de médicament, en espérant limiter le développement des cellules cancéreuses sensibles au traitement, mais ne pas les éliminer complètement, afin que la compétition avec les cellules sensibles freine le développement des cellules résistantes.

Le but du stage est de modéliser la compétition entre les différents types de cellules cancéreuses afin de déterminer, en fonction de l'état initial du patient, la meilleure stratégie thérapeutique. Parmi les outils intéressants pour cette modélisation, au choix : les équations différentielles, les équations de réaction-diffusion, le contrôle optimal, la théorie des jeux, les chaînes de Markov contrôlées, et les outils de résolution numériques correspondants.

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Marches aléatoires et relation d’Einstein

Contacts

François Huveneers, huveneers@ceremade.dauphine.fr

Durée

3 mois ou plus

Description

En 1905, Einstein étudie le mouvement Brownien comme modèle de particules à l’équilibre thermique. Il découvre une relation linéaire surprenante entre le “coefficient de diffusion” du milieu, c’est-à-dire la variance des particules browniennes, et la “mobilité” de ce milieu, c’est-à-dire le déplacement des particules lorsqu’elles sont soumises à une force extérieure (un champ électrique par exemple ou une force gravitationnelle). Au cours du 20e siècle, cette relation a été généralisée pour donner des relations dites de fluctuation-dissipation, dérivées au sein de la théorie de la réponse linéaire.

La dérivation mathématique de la relation d’Einstein, à partir de modèles microscopiques concrets d’atomes en interaction, fait appel à la théorie des probabilités (chaînes de Markov, systèmes de particules, mouvement brownien…). Dans des modèles suffisamment idéalisés (particule marquée dans un environnement évoluant selon une loi d’évolution stochastique par exemple), on peut démontrer la relation d’Einstein et préciser ses conditions de validité.

L’objectif du stage est de comprendre la relation d’Einstein et de montrer sa validité dans certains modèles. On s’intéressera à bien comprendre les hypothèses utilisées dans la démonstration, en particulier la micro-réversibilité de la dynamique. Le stage s’adresse à des étudiants intéressés par la théorie des probabilités.

Niveau M1

illustration du sujet

Modélisation d'un nouveau traitement de certains cancers

Contacts

Yannick Viossat, viossat@ceremade.dauphine.fr

Durée

3 mois ou plus

Description

Dans certains cancers, des cellules cancéreuses de plusieurs types sont en compétition les unes avec les autres. On dispose d'un médicament qui permet d'éliminer uniquement certains types de cellules. Le traitement standard consiste à donner une forte dose de médicaments pour éliminer le maximum de cellules cancéreuses, mais cela aide les cellules résistantes au traitement à se développer. Un traitement innovant consiste à ne donner que des doses limitées de médicament, en espérant limiter le développement des cellules cancéreuses sensibles au traitement, mais ne pas les éliminer complètement, afin que la compétition avec les cellules sensibles freine le développement des cellules résistantes.

Le but du stage est de modéliser la compétition entre les différents types de cellules cancéreuses afin de déterminer, en fonction de l'état initial du patient, la meilleure stratégie thérapeutique. Parmi les outils intéressants pour cette modélisation, au choix : les équations différentielles, les équations de réaction-diffusion, le contrôle optimal, la théorie des jeux, les chaînes de Markov contrôlées, et les outils de résolution numériques correspondants.

Niveau L3

illustration du sujet

Modélisation d'un nouveau traitement de certains cancers

Contacts

Yannick Viossat, viossat@ceremade.dauphine.fr

Durée

3 mois ou plus

Description

Dans certains cancers, des cellules cancéreuses de plusieurs types sont en compétition les unes avec les autres. On dispose d'un médicament qui permet d'éliminer uniquement certains types de cellules. Le traitement standard consiste à donner une forte dose de médicaments pour éliminer le maximum de cellules cancéreuses, mais cela aide les cellules résistantes au traitement à se développer. Un traitement innovant consiste à ne donner que des doses limitées de médicament, en espérant limiter le développement des cellules cancéreuses sensibles au traitement, mais ne pas les éliminer complètement, afin que la compétition avec les cellules sensibles freine le développement des cellules résistantes.

Le but du stage est de modéliser la compétition entre les différents types de cellules cancéreuses afin de déterminer, en fonction de l'état initial du patient, la meilleure stratégie thérapeutique. Parmi les outils intéressants pour cette modélisation, au choix : les équations différentielles, les équations de réaction-diffusion, le contrôle optimal, la théorie des jeux, les chaînes de Markov contrôlées, et les outils de résolution numériques correspondants.

Sujets de thèse

Sujets de post-doctorat

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