Le théorème de réorganisation

J’avais réécrit il y a un petit moment, à l’occasion d’une discussion sur jongle.net la preuve du théorème de réorganisation, tirée de « Mathematics of Juggling » de B. Polster, pour qu’elle soit un peu plus digeste, donc je mets ici le .pdf (et le .tex) pour ceux que ça intéresse.

Le but est de montrer le résultat suivant :

Si on prend un $n$-uplet d’entiers dont la somme est divisible par $n$, alors on peut permuter ces nombres de telle sorte que l’on obtienne un siteswap valide.

On peut réécrire ce théorème en termes mathématiques plus courants. On considère l’ensemble $E$ des applications de $ℤ/nℤ$ dans lui-même, et en particulier le sous-ensemble $F$ de celles dont la somme des images est nulle, et le sous-ensemble $\mathfrak{S}_n$ des permutations :

\begin{equation} F:\{φ|\sum_{i∈ℤ/nℤ}φ(i)=0\}, \quad \mathfrak{S}_n:\{φ|i≠j⇒φ(i)≠φ(j)\}.\end{equation}

Alors

$$ F = \mathfrak{S}_n + \mathfrak{S}_n.$$