Stabilité de configurations d’alignement

L’article « Local stability of perfect alignment for a spatially homogeneous kinetic model », écrit en collaboration avec Pierre Degond et Gaël Raoul, a été accepté dans Journal of Statistical Physics (pré-publication hal-00962234).

Cet article traite de la stabilité non linéaire de masses de Dirac pour un modèle simple d’alignement sur la sphère. C’est un modèle cinétique spatialement homogène dérivé de la règle suivante (au niveau particulaire) : toutes les particules interagissent à un taux constant et lorsque deux particules interagissent, elles mettent à jour leur orientation de manière à s’aligner avec leur orientation « moyenne » antérieure.

Je présente ici l’exemple simple du cercle, où les orientations de particules sont données par un angle $θ∈ℝ/2πℤ$. Si $ρ(t,θ)$ est la densité de probabilité de trouver une particule à un angle $θ$ au temps $t$, elle satisfait l’équation aux dérivées partielles non linéaire et non locale suivante :

\[∂_t ρ(t,θ) = 2 ∫_{-\frac{π}2}^{\frac{π}2}ρ(t,θ+φ)ρ(t,θ-φ)\mathrm{d}φ - ρ(t,θ).\]

Le résultat principal de l’article est le suivant : si la densité initiale $ρ_0$ est suffisamment proche (pour la distance de Wasserstein $W_2$) d’une masse de Dirac (centrée en $θ_0$), alors il existe une orientation $θ_∞$ telle que la distance de Wasserstein entre $ρ$ et la masse de Dirac centrée en $θ_∞$ décroissent en $e^{-\frac{t}4}$. Ce taux de décroissance est optimal et correspond exactement au comportement dans le cas du modèle où le cercle est remplacé par l’espace euclidien.

L’outil principal pour obtenir ce résultat est l’étude de la fonctionnelle d’énergie suivante :

\[E(ρ)= ∫_0^{2π}∫_{θ-π}^{θ+π}|θ-φ|^2 ρ(θ)ρ(φ)\mathrm{d}φ\mathrm{d}θ,\]

qui est liée à la distance de Wasserstein. Nous prouvons que cette fonctionnelle est une une fonction de Lyapounov au voisinage de n’importe quelle masse de Dirac.

Cette énergie est seulement une fonction de Lyapounov locale, comme on peut le voir dans la simulation numérique suivante. La condition initiale $ρ_0$ est une perturbation de trois masses de Dirac placées au sommet d’un triangle équilatéral sur le cercle.

La densité évolue d’abord en se rapprochant d’un état proche de la densité uniforme mais, la perturbation n’étant pas symétrique, un mode n’est pas stable et au final la densité se rapproche exponentielle ment vite d’une masse de Dirac. L’énergie des trois masses de Dirac et celle de la distribution uniforme sont données par

\[E(\tfrac13[δ_{\frac{π}3}+δ_{π}+δ_{\frac{5π}3}])=\frac{8π^2}{27} < E(\tfrac1{2π})=\frac{π^2}3.\]

Si la perturbation initiale est assez petite, on observe alors que l’énergie est croissante initialement (on peut également calculer explicitement la dérivée en temps de $E$ par la formule donnée dans l’article et obtenir qu’elle est positive au voisinage de la configuration des trois masses de Dirac).

Voici les graphiques correspondant à l’énergie en fonction du temps, qui illustrent ce fait. Le graphique en échelle logarithmique illustre le taux théorique de convergence une fois que la densité est suffisamment proche d’une masse de Dirac (la droite en pointillés correspond à une fonction proportionnelle à $e^{-\frac{t}2}$).

Le reste de l’article étend le résultat principal à une classe plus large de modèles.