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\textheight 22cm \textwidth 16.0cm \oddsidemargin 0.0cm
\evensidemargin 0.5cm
\begin{document}
\textbf{Exercice $1$} : \\
Soit $X$ une variable al\'eatoire absolument continue de densit\'e de probabilit\'e $f$ d\'efinie par
$$
\left\{\begin{array}{lll}
 f(x)&=&1-|x| \ \  si \ \ |x|\leq 1,
\\
  &=&0 \ \  sinon.
  \end{array}\\{}\right.$$
$1.$ Tracer le graphe de $f$ et v\'erifier que $f$ est bien une densit\'e de probabilit\'e.\\
$2.$ D\'eterminer la fonction de r\'epartition de $X$.\\
$3.$ Calculer l'esp\'erance math\'ematique et la variance de $X$.\\
$4.$ On d\'efinit la valeur m\'ediane $m$ comme l'unique solution de l'\'equation : 
$$F(x)=\frac{1}{2}$$
et le mode $x_{M}$ la valeur pour laquelle la densit\'e $f$ est maximale.\\
D\'eterminer $m$ et $x_{M}$.\\
$5.$ Calculer la probabilit\'e des \'ev\'enements : 
$$[-\frac{1}{2}\leq X \leq \frac{1}{4}]$$
$$[|x|>\frac{1}{2}].$$
\textbf{Exercice $2$} : \\
La taille des individus d'une certaine population est une variable al\'eatoire normale de moyenne $171$ cm et d'\'ecart-type $4$ cm.\\
$1.$ Un individu \'etant choisi au hazard et $X$ \'etant sa taille en cm.\\
D\'eterminer la probabilit\'e des \'ev\'enements suivants : \\
$a)$ $[X<160 cm]$\\
$b)$ $[X>190 cm]$\\
$c)$ $[|X-171|>8]$\\
$2.$ On choisit au hazard $n$ personnes dans la population et l'on note $M_{n}$ la moyenne des tailles des individus choisis.\\
Avec $E[M_{n}]=171$ cm , $V[M_{n}]=\dfrac{V[X]}{n}=\dfrac{16}{n}$.\\
$a)$ En admettant que $M_{n}$ suit une loi normale, d\'eterminer $\alpha$ en fonction de $n$ tel que : 
$$P[|M_{n}-171|>\alpha]=0,1.$$
$b)$ En utilisant l'in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebychev. \\
D\'emontrer que pour tout $\alpha$, $\alpha>0$, on a : 
$$\lim_{n\longrightarrow \infty}P[|M_{n}-171|>\alpha]=0.$$






























\end{document} 