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% Auteur : BEY Mohamed Amine%                               
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\documentclass[12pt]{article}

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\begin{document}
\hrule
\vskip3mm
{\bf Institut National des Sciences Appliquées et de Technologie} \hfill{\bf A-U 2009-2010}\\
{\bf $1$ère année ING-CBA} \hfill{\bf Amphi 1 et 2}\\
{\bf Probabilités et Statistiques} \hfill{\bf Dur\'ee  $1$h:$30$.}
\vskip3mm
\hrule
\vspace*{5mm}
\begin{center}
 {\Large {\bf Devoir surveill\'e (mars 2010)}}\\
\end{center}
\vspace{2mm}
\begin{justify}
\subsubsection*{Exercice $1$}
Un atelier fonctionne avec deux \'equipes d'ouvriers, une du matin et une du soir. Chaque jour, on enregistre le nombre d'ouvriers absents et on note $X$ le nombre d'absences dans l'\'equipe de jour et $Y$ le nombre d'absences dans l'\'equipe du soir. La loi de $(X,Y)$ est donn\'ee dans le tableau suivant\\
$\hspace*{4cm} x\setminus y \hspace*{1cm} 0  \hspace*{1cm}  1   \hspace*{1cm}  2  \hspace*{1cm}  3$\\
$\hspace*{4.15cm} 0 \hspace*{1.45cm}c \hspace*{0.85cm}  2c \hspace*{0.95cm} 0 \hspace*{0.95cm}3c$\\
$\hspace*{4.15cm} 1 \hspace*{1.45cm}0 \hspace*{0.85cm} 3c  \hspace*{0.95cm}  4c \hspace*{0.95cm} 0$\\
$\hspace*{4.15cm} 2 \hspace*{1.45cm}0 \hspace*{0.85cm} 4c  \hspace*{0.95cm} 2c \hspace*{0.95cm}c$\\ 
$a)$ D\'eterminer la constante $c$.\\ 
$b)$ Donner les lois marginales de $X$ et de $Y$.\\ 
$c)$ Calculer la covariance du couple $(X,Y)$.\\ 
$d)$ Donner la loi de $Y$ sachant que $X\geq 1$.
\subsubsection*{Exercice $2$}
Un r\'eservoir d'eau de $2000$ litres contient des bact\'eries 
avec une moyenne de $2$ bact\'eries par litre. On admet qu'il est dangereux d'avaler au moins $8$ bact\'eries. 
Un voyageur assoiff\'e boit un litre d'eau de ce r\'eservoir. Quelle est la probabilit\'e que son geste lui soit fatal.
\subsubsection*{Exercice $3$}
Une compagnie d'assurance pense que la population peut \^{e}tre divis\'ee en deux cat\'egories : \\
les accidentophiles et les autres. Les statistiques montrent que, pendant une p\'eriode d'une ann\'ee, les accidentophiles ont un accident avec une probabilit\'e de $0,4$, alors que pour les autres, elle est \`{a} $0,2$. Si on suppose que $\dfrac{30}{100}$ des personnes sont accidentophiles, quelle est la probabilit\'e pour qu'une personne nouvelle se pr\'esentant \`{a} l'assurance ait un accident dans l'ann\'ee de la signature du contrat.\\
On suppose maintenant qu'un nouveau client de l'assurance a un accident lors de sa premi\`{e}re 
ann\'ee de contrat ; quelle est la probabilit\'e pour que ce client soit accidentophile.
$$\textbf{Bonne chance}$$
\end{justify}
\end{document}
