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\begin{document}
\textbf{Exercice $1$} :\\
La dur\'ee de vie (en heures) d'un t\'el\'eviseur est une variable al\'eatoire continue dont la fonction de densit\'e est donn\'ee par :
$$
\left\{\begin{array}{lll}
 f(x)&=&\frac{\lambda}{x^{2}} \ \  x>150,
\\
  &=&0 \ \  sinon.
  \end{array}\\{}\right.$$
  On consid\`{e}re $X$ la variable al\'eatoire que repr\'esente la dur\'ee de vie (en heures) d'un t\'el\'eviseur.\\
  $1.$ Trouver la valeur du param\`{e}tre $\lambda$.\\
  $2.$ Quelle est la dur\'ee de vie moyenne et la variance d'un t\'el\'eviseur.\\
  $3.$ D\'eterminer la fonction de r\'epartition de $X$.\\
  $4.$ Quelle est la probabilit\'e que la dur\'ee de vie du t\'el\'eviseur soit sup\'erieure \`{a} $300$ heures.\\
  $5.$ Un t\'el\'eviseur fonctionne depuis $200$ heures. Quelle est la probabilt\'e qu'il fonctionne $200$ heures suppl\'ementaires.\\
  $6.$ $a)$ D\'eterminer la loi de $Y=X^{2}$.\\
  $\hspace*{0.4cm}$ $b)$ En d\'eduire l'esp\'erance et la variance de $Y$.\\ \\
  \textbf{Exercice $2$} :\\
$200$ skieurs professionnels ont descendu une c\'el\`{e}bre piste de ski des Alpes suisses. Le temps $X$ en secondes que chacun a r\'ealis\'e suit une distribution normale $N$ $(140 ; 100)$.\\
$1.$ D\'eterminer le nombre de skieurs ayant r\'ealis\'e un temps sup\'erieur \`{a} $150$ secondes.\\
$2.$ Quel temps faut-il r\'ealiser pour \^{e}tre parmi les $20$ premiers.\\ \\
\textbf{Exercice $3$} : Les questions $1$ et $2$ sont ind\'ependants\\
$1)$ Soit $(X_{1},X_{2},...,X_{n})$, un n-\'echantillon de loi de Bernouilli $B(p)$ et soit
$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}, \ \ \overline{X_{n}}=\frac{S_{n}}{n}.$$
Montrer que  $\overline{X_{n}}$  est un estimateur sans biais et consistant de $p$.\\ \\
$2)$ Parmi $900$ poissons p\^{e}ch\'es dans un lac, on a observ\'e $180$ porteurs de parasites.\\
Donner un intervalle de confiance de la proportion des individus parasit\'es dans la population des poissons du lac \`{a} $0,95$
 et $0,99$ et commenter le r\'esultat obtenu.




\end{document} 