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% Auteur : BEY Mohamed Amine%                               
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\begin{document}
\hrule
\vskip3mm
{\bf Institut National des Sciences Appliquées et de Technologie} \hfill{\bf A-U 2009-2010}\\
{\bf $1$ère année ING-CBA} \hfill{\bf TD de MR. BEY}\\
{\bf Probabilités et Statistiques} \hfill{\bf Groupes 1 \& 5}
\vskip3mm
\hrule
\vspace*{7mm}
\begin{center}
 {\Large {\bf S\'erie $5$ : Estimation ponctuelle}}\\
\end{center}
\vspace{3mm}
\begin{justify}
\subsubsection*{Exercice $1$}
Soit $(X_{1},X_{2},...,X_{n})$, un n-\'echantillon de loi de Bernoulli ${\cal{B}}(p)$ et soit
$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}, \ \  \overline{X_{n}}=\frac{S_{n}}{n}.$$
$a)$ Montrer que $\overline{X_{n}}$ est un estimateur sans biais et consistant de $p$.\\
$b)$ On cherche \`{a} estimer la variance $\sigma^{2}=p(1-p)$. On suppose l'estimateur $U_{n}=\overline{X_{n}}(1-\overline{X_{n}})$.\\
$1)$ Calculer l'esp\'erance et la variance de $S_{n}$.\\
$2)$ Montrer que $U_{n}$ est un estimateur biais\'e de $\sigma^{2}$.\\
$3)$ Donner un estimateur $V_{n}$ sans biais de $\sigma^{2}$, fonction de $U_{n}$.
\subsubsection*{Exercice $2$}
Les statistiques qui servent \`{a} \'etablir le tableau de bord d'une entreprise r\'esultent souvent de l'exploitation de nombreux documents de base.
 Ces op\'erations demandent un certain d\'elai. Une exploitation par sondage de ces documents peut faciliter l'acc\'es \`{a} ces informations \`{a}
  des responsables, avec une pr\'ecision tout \`{a} fait acceptable. Dans une entreprise commerciale, $16000$ ordres de commande ont \'et\'e enregistr\'es au cours d'une p\'eriode d\'etermin\'ee. Une exploitation rapide de ces documents a \'et\'e faite sur un \'echantillon au
   $\dfrac{1}{10}$ : on a constat\'e que $240$ ordres n'ont pu \^{e}tre satisfaits \`{a} la suite de ruptures de stock. D\'eterminer l'intervalle de
   confiance de la proportion d'ordes qui n'ont pu \^{e}tre parmi les $16000$ qui ont \'et\'es 
   enregistr\'es, avec un niveau de confiance de $\dfrac{95}{100}$.
\subsubsection*{Exercice $3$}
Un analyste financier \'etudie les comptes de $200$ clients ayant souscrit un emprunt. A partir d'un \'echantillon de $20$ comptes, il a \'etabli
 les donn\'ees r\'eduites suivantes (exprim\'ees en francs) :
 $$\overline{x}=1514,69 \ \ et \ \ \sum_{i=1}^{20}(x_{i}-\overline{x})^{2}=3904811,97.$$
 $a)$ En supposant que les donn\'ees sont gaussiennes, donner une estimation ponctuelle de $m$ solde moyen d'un compte et de son \'ecart-type $\sigma$.\\
 $b)$ Donner les intervalles de confiance \`{a} $\dfrac{95}{100}$ de $m$ et $\sigma$.
\subsubsection*{Exercice $4$}
Sur un \'echantillon de $1000$ amateurs de caf\'e, $300$ individus interrog\'es pr\'ef\`{e}rent le robusta \`{a} l'arabica. Donner un intervalle
 de confiance \`{a} $\dfrac{99}{100}$ de la proportion d'individus pr\'ef\`{e}rant le robusta \`{a} l'arabica.
\subsubsection*{Exercice $5$}
On d\'esire estimer le nombre $N$ d'individus d'une esp\`{e}ce animale vivant sur une \^{\i}le. Pour cela, on capture $800$ individus; ces individus sont marqu\'es, puis relach\'es. Ensuite, on recaptura ult\'erieurement $1000$ animaux parmi lesquels on d\'enombre $250$ animaux marqu\'es. En
 d\'eduire un intervalle de confiance \`{a} $\dfrac{95}{100}$ de $N$.
\subsubsection*{Exercice $6$}
On veut \'evaluer la consommation annuelle de cidre dans la r\'egion de Normandie. Une enqu\^{e}te men\'ee aupr\'es d'un \'echantillon de $400$ personnes aboutit aux r\'esultats r\'eduits suivants (exprim\'es en nombre de bouteilles) :
$$\overline{x}=110 \ \ et \ \ \sum_{i=1}^{400}(x_{i}-\overline{x})^{2}=1440000.$$
$a)$ Estimer la consommation annuelle de cidre avec un niveau de confiance de $\dfrac{0,8}{100}$.\\
$b)$ M\^{e}me question pour un niveau de confiance de $\dfrac{0,99}{100}$.\\
$c)$ Pour un niveau de confiance de $\dfrac{0,99}{100}$, d\'eterminer la taille de l'\'echantillon pour avoir un intervalle de confiance deux fois plus petit qu'au $b$.
\subsubsection*{Exercice $7$}
Un fabriquant de boites de conserve veut controler la contenance des boites. On suppose que la contenance d'une boite est une v.a.r. $X$ de loi normale de moyenne $m$ et d'\'ecart-type $\sigma$. Un \'echantillon de $10$ boites donne les contenances (exprim\'ees en grammes) suivantes :\\
$490$ $492$ $497$ $502$ $505$ $490$  $495$ $492$ $490$ $497$.\\
$a)$ Donner un intervalle de confiance de $m$ et de $\sigma$ au niveau $\dfrac{90}{100}$.\\
$b)$ Le fabriquant affirme que les boites ont en moyenne une contenance de $500$ grammes. Donner un intervalle de confiance de $\sigma$ au niveau
 $\dfrac{90}{100}$.
\subsubsection*{Exercice $8$}
La dur\'ee de vie d'une batterie de bi-bop est une v.a.r. $X$ de densit\'e
$$f_{\theta}(x)=\theta^{-1}e^{-\frac{x}{\theta}}, \ \ x\geq 0,$$
$$f_{\theta}(x)=0 , \ \ sinon.$$ 
$a)$ Montrer que le temps moyen de bon fonctionnement d'une batterie est \'egal \`{a} $\theta$.\\
$b)$ A fin d'\'etablir une dur\'ee de garantie, le fabriquant cherche \`{a} estimer le temps moyen de bon fonctionnement. Etudier l'estimateur du maximum de $\widehat{\theta_{n}}$ de $\theta$.\\
$c)$ On peut montrer que
$$(\frac{2n}{\theta})\widehat{\theta_{n}}$$
suit la loi $\chi^{2}(2n)$. Donner en expliquant votre d\'emarche, un intervalle de confiance th\'eorique de $\theta$ au niveau de confiance $1-\alpha$.\\
$d)$ Des tests sont effectu\'es sur un \'echantillon de $10$ batteries. Les dur\'ees de vie observ\'ees (exprim\'ees en milliers d'heures) sont
 les suivantes : \\
 $16,14$ $36,24$ $72,35$ $43,09$ $9,13$ $1,46$ $39,96$ $11,935$ $30,04$ $42,37$.\\
 Donner un intervalle de confiance de $\theta$ au niveau de confiance $\dfrac{95}{100}$.
\end{justify}
\end{document}
