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% Auteur : BEY Mohamed Amine%                               
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\begin{document}
\hrule
\vskip3mm
{\bf Institut National des Sciences Appliquées et de Technologie} \hfill{\bf A-U 2009-2010}\\
{\bf $1$ère année ING-CBA} \hfill{\bf TD de MR. BEY}\\
{\bf Probabilités et Statistiques} \hfill{\bf Groupes 1 \& 5}
\vskip3mm
\hrule
\vspace*{7mm}
\begin{center}
 {\Large {\bf S\'erie $6$ : Convergences}}\\
\end{center}
\vspace{3mm}
\begin{justify}
\subsubsection*{Exercice $1$}
Soit $(X_{n})$ une suite de v.a.r. de lois d\'efinies pour $n\geq 1$ par
$$P(X_{n}=0)=\frac{n}{n+1}, \ \  P(X_{n}=n)=\frac{1}{n+1}.$$
$a)$  Montrer que $X_{n}\longrightarrow X$ o\`{u} $X$ est une v.a.r. que l'on d\'eterminera.\\
$b)$ Calculer $E[(X_{n}-X)^{2}]$ ainsi que sa limite quand $n\longrightarrow +\infty$. Que peut-on en conclure.
\subsubsection*{Exercice $2$}
A l'aide du th\'eor\`{e}me de limite centrale, d\'emontrer la relation :
$\dlim_{n\longrightarrow +\infty}e^{-n}\dsum_{k=0}^{n}\frac{n^{k}}{k!}=\frac{1}{2}$.
\subsubsection*{Exercice $3$}
Un candidat a obtenu $\dfrac{49}{100}$ des suffrages exprim\'es \`{a} une \'election. Donner la probabilit\'e d'avoir entre $\dfrac{48}{100}$
 et $\dfrac{50}{100}$ des votes dans un \'echantillon non exhaustif de $n$ suffrages exprim\'es : \\
 $a)$ pour $n=10$.\\
 $b)$ pour $n=100$.
\subsubsection*{Exercice $4$}
 On consid\`{e}re $10000$ chiffres pris au hazard. Calculer la probabilit\'e que le chiffre $7$ apparaisse $999$ fois.
\subsubsection*{Exercice $5$}
Le service des renseignements t\'el\'ephoniques re\c{c}oit en moyenne $100$ appels par heure. Evaluer la probabilit\'e que le nombre d'appels en
 une heure varie de un \'ecart-type par rapport \`{a} la moyenne.
\subsubsection*{Exercice $6$}
Un micro-processeur effectue, lors d'une op\'eration, une erreur de calcul avec la probabilit\'e $p=10^{-5}$. D\'eterminer le nombre d'op\'erations
 $n$ n\'ecessaires pour que la proportion $p_{n}$ d'erreurs obtenues v\'erifie
 $P(\frac{|p_{n}-p|}{p}>0,2)\leq 0,05$.\\
$a)$ A partir de l'in\'egalit\'e de Bienaym\'e-Tchebychev.\\
$b)$ A partir du th\'eor\`{e}me de limite centrale.
\subsubsection*{Exercice $7$}
Soit $(X_{n})$ une suite de v.a.r. ind\'ependantes et de m\^{e}me loi. On pose
$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}$.\\
Montrer que pour tout $x\in\R$ strictement positif et pour tout $a\in\R$
$$P(S_{n}\geq na)\leq e^{-xna}E(e^{xS_{n}}).$$
\end{justify}
\end{document}
