Étude du pendule amorti

Modélisation

On considère le système mécanique du pendule rigide amorti. On désigne par \(\theta\) l'angle entre la verticale passant par le point \(O\) de suspension et la direction de la barre rigide du pendule. La mécanique du point nous donne l'équation différentielle qui modélise l'évolution de l'angle \(\theta\) : \[\theta'' = -b\theta'-c\sin\theta\] où \(b\) et \(c\) sont des constantes strictement positives.

En augmentant la dimension du système, on se ramène à une équation différentielle du premier ordre: \[\begin{pmatrix}\theta\\\theta'\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}\theta'\\-b\theta'-c\sin\theta\end{pmatrix}=F(\theta,\theta'),\] où \(F\) est une fonction \(C^\infty\).

Nous considérerons ici le cas où \(b^2>4c\), c'est-à-dire le cas où les frottements sont assez petits. Dans nos exemples, on prendra les valeurs \(b=0.5\) et \(c=1\).

Les équilibres

Cherchons les équilibres du système, c'est-à-dire les zéros du champs de vecteur \(F\).

Comme \(\theta\) est un angle, nous allons nous restreindre à \(\theta\in]-\pi,\pi]\). Avec, ce domaine de définition, on a les deux équilibres \((0,0)\) et \((\pi,0)\).

Solution numérique et portrait de phase

Si on ne peut pas trouver de solution analytique à ce problème, on peut en calculer des solutions numériquement. Pour cela, on peut utiliser le langage Python, et ses bibliothèques numpy et scipy.