Groupe de travail en Systèmes dynamiques

L'ensemble d'Aubry est un ensemble compact invariant par le flot d'un Hamiltonien de Tonelli. L'étude de cet ensemble est centrale dans la théorie d'Aubry-Mather et la théorie KAM faible en raison de l'information dynamique qu'on peut en extraire. Cependant, la forme de cet ensemble peut être assez "compliquée" du point de vue géométrique.

En utilisant les fibrés de Green et certaines notions de cônes tangents, Marie Claude Arnaud (2012) a réussi à prouver des résultats sur la régularité de l'ensemble d'Aubry. De plus, elle a conjecturé un estimé plus fin, finalement démontré par Ke Zhang (2020).

Lors de cet exposé, on discute ces résultats et on explore une autre preuve du résultat de Zhang, basée sur une propriété de régularisation de sous-solutions sous les opérateurs de Lax-Oleinik (introduite par Bernard (2007)) et une relation appropriée entre la Hessienne de Clarke de telles sous-solutions et les cônes étudiés par Arnaud.

Je présenterai un résultat abstrait montrant que, pour un problème d’évolution quasi-linéaire, la continuité de l'application donnée-solution découle automatiquement des estimations généralement établies lors de la preuve de l'existence des solutions. Ce résultat est en réalité une conséquence d'un théorème d'interpolation pour des fonctionnelles non linéaires définies sur des échelles d'espaces de Banach généralisant les espaces de Besov. Notre analyse est indépendante de tout résultat antérieur sur la théorie de l'interpolation. Elle repose uniquement sur les concepts de décomposition dyadiques, de mollificateurs de Friedrichs, vus à travers le formalisme introduit par Hamilton pour étudier le schéma de Nash-Moser, combinés aux enveloppes de fréquence introduites par Tao. Il s'agit d'un travail en collaboration avec N. Burq, M. Ifrim, D. Tataru et C. Zuily.

Consider a one-parameter family of smooth surface diffeomorphisms unfolding a quadratic homoclinic tangency to a hyperbolic fixed point. It is well known that in this unfolding there exists a Newhouse domain, i.e. an open set of parameters for which the corresponding diffeomorphisms exhibit persistent homoclinic tangencies.

The analysis of the unfolding is more subtle when the homoclinic tangency is associated to a persistent degenerate saddle, i.e. a parabolic fixed point which exists for all values of the parameter and for which the topological picture of the local dynamics resembles that of a hyperbolic fixed point (existence of invariant manifolds and C⁰ Lambda lemma).

These degenerate saddles appear naturally in several models in Celestial Mechanics, in particular, in the so-called Restricted 4-Body Problem. We prove that, in a particular configuration of the latter model which can be reduced to an area preserving map, there exists a degenerate saddle with a quadratic homoclinic tangency that unfolds generically (as we move the masses of the bodies). Moreover, and despite the fact that the C¹ Lambda lemma does not hold for this degenerate saddle, we show that the dynamics at the unfolding of the tangency can be renormalized, with the critical Hénon map showing up in the limit process.

This implies the existence of a Newhouse domain in the parameter space (the masses of the bodies) and a residual subset of parameters for which there exist hyperbolic sets of large Hausdorff dimension which are accumulated by elliptic islands.

This is joint work with Pau Martín and Jaime Paradela.

We will first introduce some basic settings for Frenkel-Kontorova type models in solid state physics and survey about the related both classical and quantum models. We then focus on deposition of one dimensional chains of interacting particles subjected to one dimensional almost-periodic media.

We establish both perturbation theories to obtain equilibrium configurations: the KAM theory for close to integrable systems and the theory of anti-integrable limits for fully chaotic systems far away from the integrable. We show that these equilibria could be quite different in the sense that the KAM equilibria do not have phonon gap but the anti-integrable limits do have.

Un théorème de Birkhoff, établi en 1922, affirme qu’une courbe essentielle invariante par un difféomorphisme du cylindre qui dévie la verticale est un graphe Lipschitz au-dessus du cercle. Ce résultat a servi de point de départ à de nombreuses recherches dans les années 1980, visant à le généraliser aux systèmes de type twist en dimensions supérieures.
Un résultat marquant, dû à Marie-Claude Arnaud (2010), établit qu’une sous-variété lagrangienne exacte (Hamiltoniennement isotope à la section nulle) et invariante par le flot d’un Hamiltonien de Tonelli, est un graphe Lipschitz au-dessus de la section nulle. Plus précisément, c’est graphe d’une solution KAM faible de l’équation d'Hamilton-Jacobi.
Nous proposons une extension de ce résultat aux sous-variétés lagrangiennes récurrentes sous l’action du flot Hamiltonien, et sous une topologie de convergence qui contrôle les dilatations de ces sous-variétés. Nous montrons que ces sous-variétés sont des graphes Lipschitz au-dessus de la section nulle, et, plus précisément, des graphes de différentielles de solutions de viscosité récurrentes. Ce résultat reste valable sous des hypothèses plus faibles sur ces sous-variétés lagrangiennes, dites à complexité asymptotique réduite.

La théorie KAM faible, développée par Albert Fathi dans les années 1990, introduit des solutions généralisées à l’équation de Hamilton-Jacobi pour des Hamiltoniens convexes et surlinéaires sur les fibres, dits de Tonelli. Ces solutions KAM faibles, définies à partir d’un principe variationnel, sont décrites par les barrières de Peierls, qui offrent une formule de représentation explicite pour l’ensemble de ces solutions.

Dans le cadre non-autonome, les solutions de viscosité récurrentes de l’équation de Hamilton-Jacobi présentent des analogies notables avec les solutions KAM faibles. Nous proposons d’étendre la formule de représentation aux solutions de viscosité récurrentes en introduisant une barrière de Peierls généralisée et d’examiner certaines conséquences sur la structure de cet ensemble de solutions.