Master 2
Mention Mathématiques appliquées
Parcours Analyse et Probabilités

(Qu'est-ce que cette image ?)

Cette image représente le spectre d'une matrice aléatoire.

Auteur : Djalil Chafaï

PSL


Université Paris-Dauphine


ENS


Observatoire de Paris


EHESS


École des Mines Paritech

Cours spécialisés / Specialized courses (2017-2018)

Une large variété de cours spécialisés est disponible. La cohérence du choix des étudiants doit être approuvée préalablement par le responsable du M2. Ils sont enseignés á Dauphine, sauf mention du contraire.

A broad variety of specialized courses is available. The consistency of students' choices must be approved beforehand by the chair of the M2. They are taught in Dauphine, unless otherwise mentionned.

Des phénomènes observés dans des contextes très variés sont représentés par des équations de type réaction-diffusion : dynamique des populations, écologie, épidémiologie, invasions biologiques, comportements collectifs, diffusion d'opinions ou de normes sociales. Ce cours développera des méthodes mathématiques pour analyser ce type d'équations. Elles seront ensuite mises en œuvre pour établir les principales propriétés de ces équations.

Une première partie sera consacrée aux propriétés fondamentales des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques linéaires et non linéaires. On étudiera ensuite les états stationnaires de ces équations, les propriétés dynamiques et l'existence de solutions de type ondes progressives. On s'attachera en particulier à en déterminer les vitesses et les formes ainsi que les propriétés qualitatives.

La seconde partie du cours décrira quelques modèles de dynamique des populations pour la biologie et différentes applications. Dans le cadre de ces modèles, on analysera les effets des environnements hétérogènes sur la persistance des espèces et la forme des invasions biologiques en fonction de l'environnement. On développera aussi des modèles permettant de décrire les effets de changements climatiques sur la persistance et la distribution de certaines espèces biologiques.

Ce cours est commun avec le M2 Mathématiques et applications de l'Université P. et M. Curie et sera enseigné à l'UPMC.

La mécanique céleste est plus vivante que jamais. Après un renouveau résultant de la conquête spatiale et de la nécessité des calculs des trajectoires des engins spatiaux, un deuxième souffle est apparu avec l’étude des phénomènes chaotiques. Cette dynamique complexe permet des variations imporantes des orbites des corps célestes, avec des conséquences physiques importantes qu’il faut prendre en compte dans la formation et l’évolution du système solaire. Avec la découverte des planètes extra solaires, la mécanique céleste prend un nouvel essor, car des configurations qui pouvaient paraître académiques auparavant s’observent maintenant, tellement la diversité des systèmes observés est grande. La mécanique céleste apparaît aussi comme un élément essentiel permettant la découverte et la caractérisation des systèmes planétaires qui ne sont le plus souvent observés que de manière indirecte.

Le cours a pour but de fournir les outils de base qui permettront de mieux comprendre les interactions dynamiques dans les systèmes gravitationnels, avec un accent sur les systèmes planétaires, et en particulier les systèmes planétaires extra solaires. Le cours vise aussi à présenter les outils les plus efficaces pour la mise en forme analytique et numérique des problèmes généraux des systèmes dynamiques conservatifs.

Thèmes abordés:

Ce cours est commun avec le M2 de Dynamique des systèmes gravitationnels de l'Observatoire de Paris. Il sera enseigné pendant l'automne à l'Observatoire de Paris. Les étudiants souhaitant suivre ce cours devront préalablement contacter G. Boué ou J. Laskar pour pouvoir pénétrer dans l'Observatoire.

Les EDP et les problèmes de contrôle stochastique apparaissent naturellement en contrôle des risques, évaluation d'option, calibration, gestion de portefeuille, liquidation optimale d'ordre... L'objectif de ce cours est d'étudier les techniques fines associées et notamment de présenter en profondeur la notion de solution de viscosité qui s'est imposée ces dernières années.

Plan :

  1. Espérances conditionnelles et EDP linéaires paraboliques
  2. Formulation de problèmes de contrôle stochastique standards
  3. Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman
  4. Application à la gestion de portefeuille, aux problèmes d'arrêt optimal et de switching.

This course is an introduction to the basics of nonlinear systems theory and control design, with a particular focus on combinations of motion planning and reference trajectory tracking. Solutions of these two problems are dramatically simplified in the class of differentially flat systems. This latter class is introduced in an elementary way, with many examples, and studied in the framework of the differential geometry of jets of infinite order.

Contents:

Tentative schedule: Thursdays 16:30-19h30, from December to March, at École des Mines de Paris.

Voir la page web du M2 MASEF.

This course is a modern overview on logarithmic Sobolev inequalities. These inequalities have been the subject of intense activity in the recent decades in relation with the analysis and geometry of Markov processes and diffusion evolution equations. This course is designed to be accessible to a wide audience. It is divided into seven lectures. The examination will consist in reading a research paper in the field and giving a short talk on it.

Bibliography:

This course, after giving a short introduction to digital image processing, will present an overview of variational methods for Image segmentation. This will include deformable models, known as active contours, solved using finite differences, finite elements, level sets method, fast marching method. A large part of the course will be devoted to geodesic methods, where a contour is found as a shortest path between two points according to a relevant metric. This can be solved efficiently by fast marching methods for numerical solution of the Eikonal equation. We will present cases with metrics of different types (isotropic, anisotropic, Finsler) in different spaces. All the methods will be illustrated by various concrete applications, like in biomedical image applications.

Tentative plan (subject to changes, depending on the audience):

  1. Reminder on differential equations
  2. Hamiltonian systems on R2n
  3. Smooth manifolds, tangent and cotangent bundles
  4. Differential forms
  5. Symplectic manifolds
  6. Hamiltonian systems on symplectic manifolds
  7. Integrability of Hamiltonian systems
  8. Hamiltonian perturbation theory
  9. The KAM theorem
  10. The Nekhoroshev theorem

The course will be taught in English (or in French, if everyone speaks French) at Dauphine University on Thursday morning, 8h30-10h and 10h15-11h45, starting mid-September. Beware of the early schedule!

An oral exam will take place before Christmas vacations.

References:

Voi la page web du cours. Ce cours sera enseigné pendant l'automne à l'ENS (comme cours spécialisé).

Voir la page web du cours. Ce cours sera enseigné à l'UPMC.

The course introduces sparse wavelet representation techniques, for compression, noise removal and for audio and image classification.

Reference: Une explorations des signaux en ondelettes, S. Mallat, Éditions de l'Ecole Polytechnique.

This course will be taught on Fridays at ENS Paris, rue d'Ulm. Further details are one this web page.

See the web page of the course. The course will be taught at UPMC.

See the MASEF M2 web page.

Liouville conformal field theory was introduced in Physics by Polyakov in 1981 in his theory of summation of metrics on a Riemann surface (also called quantum geometry of bosonic strings). Thus Liouville field theory may be seen as a random version of the theory of Riemann surfaces. In the Physics literature, the theory is defined formally using a 2-d analogue of the path integral of Feynman. The goal of this course is to give a rigorous probabilistic construction of the theory, built on the theory of the Gaussian free field (GFF) and on the exponential of the GFF called Gaussian multiplicative chaos (after J.-P. Kahane). We will show that the theory possesses some conformal symetries, which justifies to call it a Conformal Field Theory (CFT). We will also state some precise conjectures relating the theory to the scaling limit of large planar maps (seen as Riemann surfaces).

Outline

References

In 2017-8, the course will be taught in ENS.

This course will be part of the trimester on Stochastic Dynamics Out of Equilibrium at Institut Henri Poincaré (April-June 2017).