Master 2
Mention Mathématiques appliquées
Parcours Analyse et Probabilités

(Qu'est-ce que cette image ?)

Cette image représente le spectre d'une matrice aléatoire.

Auteur : Djalil Chafaï

PSL


Université Paris-Dauphine


ENS


Observatoire de Paris


EHESS


École des Mines Paritech

Autres cours / Other courses (2015-2016)

De nombreux autres cours sont susceptibles d'être validés dans le M2. Dans tous les cas, cela est soumis à l'autorisation préalable du responsable du M2.

Many other courses may be taken. In every case, this is subject to the prior authorisation of the director of the M2 curriculum.

École doctorale

La formation peut être complétée par des cours de l'école doctorale de l'Université Paris-Dauphine. Pour des informations plus complètes sur ces cours, nous renvoyons au site de l'école doctorale.

Some additional courses are provided by the graduate school of Université Paris-Dauphine. For more complete information on these courses, we refer to the website of the graduate school.

Le cours portera sur des inégalités fonctionnelles liées à l'inégalité de Sobolev, les constantes optimales, et la symétrie des fonctions optimales. Le principal outil du cours consistera à utiliser des flots linéaires ou non-linéaires définis par une équation aux dérivées partielles d'évolution (en pratique une équation de diffusion ou de dérive-diffusion). Il s'agira plus précisément d'exhiber une fonctionnelle (entropie généralisée, énergie libre) associée à l'inégalité, qui se comporte de manière monotone au cours de l'évolution, c'est-à-dire joue le rôle d'une fonctionnelle de Lyapunov.

On introduira des situations géométriques variées (cas de l'espace Euclidien, mais aussi cas de variétés dont la courbure n'est pas de signe constant) et on fera le lien avec les méthodes de rigidité utilisées pour les équations semi-linéaires elliptiques et des estimations spectrales pour des opérateurs de Schrödinger. Dans tous les problèmes évoqués ci-dessus, on s'intéressera à des flots dont la monotonie est garantie non pas par une condition de positivité ponctuelle mais par une quantité intégrale, typiquement une condition de positivité d'une valeur propre.

Le cours fournira l'occasion de faire le lien avec des questions spectrales, par exemple dans le cas des inégalités posées sur des sphères, ou encore avec des méthodes de semi-groupes comme le carré du champ, ou méthode de Bakry-Emery. Le cours mettra en évidence les spécificités des flots non-linéaires par rapports aux méthodes linéaires et sera illustré par un certain nombre d'exemples simples. On insistera en particulier sur les conséquences au niveau non-linéaire des estimations données par le problème linéarisé.

Une partie importante du cours portera sur la caractérisation des fonctions optimales pour les inégalités à poids dites de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Dans ce cas, on montrera que traiter des poids homogènes revient à modifier la dimension et permet de ramener le problème à une question d'optimalité pour des inégalités de type Sobolev, ce qui permet de conclure grâce à la construction d'un flot non-linéaire. Cette méthode répond à une question de brisure de symétrie qui a longtemps été ouverte.

Au passage, on s'intéressera aux questions de structure (quand est-ce que l'équation d'évolution est un flot gradient de l'entropie pour une notion de distance bien choisie ? quand est-ce que le flot correspond à une structure de dualité ?), aux questions d'optimalité (quand est-ce qu'une version améliorée de l'inégalité garantit que le cas d'égalité dans l'inégalité est atteint dans le régime asymptotique ?) et on esquissera quelques stratégies pour obtenir des inégalités dites améliorées, ou encore pour donner des résultats de stabilité quantitatifs.

Les équations d'évolution seront présentées principalement comme un outil pour obtenir des résultats globaux sur des problèmes variationnels. On montrera en particulier quelles sont les conséquences du point de vue des bifurcations et plus généralement sur les ensembles de solutions de problèmes non-linéaires. Le cours donnera aussi l'occasion de présenter quelques problèmes ouverts.

Ce cours sera enseigné à l'Université Paris-Dauphine en fré-mars.

This course is an elementary introduction to Thermodynamics and Statistical Mechanics. The aim is to explain the main ideas in few concrete models, more than constructing a general theory.

In the first part of the course, the `principles of thermodynamics’ are introduced, and it is explained how these principles can be deduced from the microscopic dynamics of molecules through space-time macroscopic limits. Thermodynamics is obtained as macroscopic theory, i.e., valid on macroscopic space-time scales, while statistical mechanics provides the microscopic model. This means that the objects of thermodynamics are those macroscopic complex systems that satisfy the thermodynamic principles, while statistical mechanics explains how this complexity arise from dynamics of systems with a very large number of components. The central point of this connection is the identification of the thermodynamic entropy, a function of the thermodynamic macroscopic equilibrium states, introduced by Clausius using Carnot cycles, with the Boltzmann definition of entropy in statistical mechanics, as logarithm of the number of microstates corresponding to the given macroscopic state. Boltzmann and Planck discovered this identification at the end of 19th century, but in order to understand it, we need to obtain the thermodynamic transformations constituting the Carnot cycle, isothermal and adiabatic, from the microscopic dynamics through a scaling limit procedure. This aspect differentiates this course from more classical courses in statistical physics, where only the equilibrium properties of the systems are studied.

As classical thermodynamics concerns transformations from an equilibrium state to another, in the second part of the course I will illustrate how some ideas generalize to transitions between non-equilibrium stationary states.

This course will be taught at Université Paris-Dauphine in February-March 2018.

Collège de France Collège de France

Le Collège de France offre des cours de niveau recherche. En particulier, P.-L. Lions dispense chaque année des cours en analyse, sans examen. Pour être validés dans le cadre du M2, il faudra, après accord préalable du responsable du M2, faire un exposé oral sur un thème développé dans le cours.

Some research level courses are provided at Collège de France. P.-L. Lions in particular give courses in analysis, with no exams. In order to include such a course in some body's curriculum, one must give an oral presentation of a subject which is part of the course, upon prior approval by the head of the M2.

École normale supérieure

See the course's web page. The course will be taught at ENS during Winter/Spring.

See the course's web page. The course will be taught at ENS during Winter/Spring.

Autres institutions parisiennes

Il est possible de suivre certains cours proposés dans d'autres université d'Ile de France, sous réserve d'accord préalable par écrit du responsable du M2.

It is possible to include some courses offered in other institutions from the Paris area in one's curriculum, upon prior written authorization from the director of the M2.