Voici une solution pour 12 pièces, mais qui peut se généraliser directement à \(\frac12 (3^n - 3)\) pièces, où \(n\) est le nombre de pesées.
On numérote les pièces de 1 à 12, et on donne 1 étiquette à chaque pièce. Cette étiquette est le numéro en base 3 de la pièce (donc 3 chiffres dans l'ensemble \(\{0, 1, 2\}\)). On donne ensuite à chaque pièce une 2ème étiquette, qui est similaire à la 1ère, mais dans laquelle on a remplacé les 0 par des 2, les 2 par des 0, et sans modifier les 1. On a ainsi placé 24 étiquettes différentes, qui sont toutes les combinaisons de 3 chiffres dans \(\{0, 1, 2\}^3\), sauf les combinaisons 000, 111 et 222.
Enfin, on colorie chaque étiquette en rouge si le premier changement de chiffres dans la séquence est 01, 12, ou 20, et en bleu sinon. Cela permet d'avoir, à chaque position \(i\) des étiquettes rouges, exactement 4 pièces avec un 0, 4 pièces avec un 1, et 4 pièces avec un 2. Comme nous le verrons, à la fin des pesées, il faudra regarder les étiquettes rouges dans l'hypothèse que la fausse pièce est plus lourde, et les étiquettes bleues sinon.
On obtient la disposition suivante (les nombres en gras sont la représentation ternaire de la pièce).
| Pièce |
Etiquette rouge |
Etiquette bleue |
| 1 |
001 |
221 |
| 2 |
220 |
002 |
| 3 |
010 |
212 |
| 4 |
011 |
211 |
| 5 |
012 |
210 |
| 6 |
202 |
020 |
| 7 |
201 |
021 |
| 8 |
200 |
022 |
| 9 |
122 |
100 |
| 10 |
121 |
101 |
| 11 |
120 |
102 |
| 12 |
112 |
110 |
Nous effectuons maintenant nos pesées de la manière suivante. Pour la i-ème pesée, nous prenons les 4 pièces dont l'étiquette rouge à un 2 en i-ème position, et les mettons sur le plateau de droite, et les 4 pièces dont l'étiquette rouge a un 0 en i-ème position, et les mettons sur le plateau de gauche.
- Si la balance penche à droite, soit la fausse pièce est à droite et est lourde. Dans ce cas, elle a un 2 en i-ème position sur son étiquette rouge. Soit la fausse pièce est à gauche et est légère. Elle a alors un 0 en i-ème position sur son étiquette rouge, donc un 2 en i-ème position sur son étiquette bleue. Dans tous les cas, la fausse pièce a un 2 sur l'une de ses étiquettes.
- Si la balance penche à gauche, on montre de la même manière que la fausse pièce a un 0 sur l'une de ses étiquettes.
- Si la balance est stable, alors la fausse pièce n'a pas été pesée. Elle a donc un 1 en i-ème position sur ses 2 étiquettes.
Ainsi, pour chaque pesée, on marque un 2 si la balance penche à droite, un 0 si la balance penche à gauche et un 1 si la balance est stable. Le raisonnement précédent montre que le chiffre marqué coïncide toujours avec le chiffre correspondant à l'une des deux étiquettes de la fausse pièce. On a aussi montré que c'est le chiffre de l'étiquette rouge si la fausse pièce est lourde, et le chiffre de l'étiquette bleue si la fausse pièce est légère.
Au final, à la fin des 3 pesées, on a écrit le numéro d'une des étiquettes de la fausse pièce. De plus, cette pièce est lourde si on a écrit le chiffre de son étiquette rouge, et légère sinon.
Pour le deuxième problème, on rajoute la 13ème pièce avec les étiquettes 111 et 111 (elle ne sera donc jamais pesée), et le même raisonnement marche encore. On remarque qu'effectivement, si la balance est toujours stable, alors on sait que la 13ème pièce est fausse, mais on ne sait pas si elle est plus légère ou plus lourde.
