Voici une série de problèmes avec information cachée. En guise d'apéritif, une anecdote.
Trois logiciennes entrent dans un bar. La barwoman demande : "vous prendrez toutes les trois des bières ?"
La première logicienne répond : "je ne sais pas."
La seconde logicienne répond : "je ne sais pas."
La troisième logicienne répond : "oui !"
Maintenant les choses sérieuses. Un premier problème classique (mais que je n'aime pas beaucoup, car il ne se généralise pas à N > 3). Pour d'autres problèmes avec des chapeaux, c'est ici.
Les chapeaux (*)
Trois mathématiciennes, Alice, Béa et Cécile, sont dans une salle, ainsi que 2 chapeaux noirs et 3 chapeaux blancs.
Les trois mathématiciennes ferment les yeux. On place un chapeau sur la tête de chacune d'entre elle, puis on cache les 2 autres chapeaux. Lorsque les mathématiciennes ré-ouvrent les yeux, chacune peut voir la couleur des chapeaux des 2 autres personnes, mais pas la couleur du sien.
On leur explique qu'elles ont 15 minutes pour trouver la couleur de leur chapeau, et de sortir quand elles ont trouvé. Cependant, les personnes n'ont pas le droit de communiquer.
Au bout des 15 minutes, personne n'est sorti, mais chaque personne connaît la couleur de son chapeau. De quelles couleurs sont les chapeaux ?
Les 3 chapeaux sont blancs.
En effet, si on place 2 chapeaux noirs et 1 chapeau blanc, celle qui a le chapeau blanc voit les 2 chapeaux noirs, et en déduit tout de suite qu'elle a un chapeau blanc. En sortant tout de suite, elle indique aux autres personnes qu'elles ont des chapeaux noirs.
Si on place 1 chapeau noir (sur Alice) et 2 chapeaux blancs sur Béa et sur Cécile, Béa peut faire le raisonnement suivant : si j'ai un chapeau noir, alors Cécile verrait 2 chapeaux noirs, et elle pourrait (et devrait) sortir tout de suite. Cependant, elle ne sort pas. C'est donc que j'ai un chapeau blanc. Je peux donc sortir, mais si je sors, je vais fausser le raisonnement de Cécile, qui est en train de faire le même raisonnement. Je dois donc rester dans la salle.
Je n'aime pas beaucoup cette énigme, car que ce passe-t-il s'il on met 2 chapeaux blancs et 1 chapeau noir ? Et que se passe-t-il s'il y a 10 chapeaux blancs au début ?
Voici maintenant une curieuse conversation entre une factrice et une mère.
L'âge des trois filles (*)
La mère : "J'ai trois filles. Le produit de leur âge est 36, et la somme est égale au numéro de la maison en face."
La factrice : "Humm, cela ne me permet pas de trouver l'âge de vos filles."
La mère : "L'aînée est blonde."
La factrice : "Dans ce cas, je connais l'âge de vos filles."
Quel est l'âge des trois filles ?
Écrivons toutes les décompositions de \(36\) en produit de trois nombres entiers, et calculons pour chacune de ces décompositions la somme de ces nombres. On obtient :
36 = 36x1x1 avec 36+1+1 = 38
36 = 18x2x1 avec 18+2+1 = 21
36 = 12x3x1 avec 12+3+1 = 16
36 = 9x4x1 avec 9+4+1 = 14
36 = 9x2x2 avec 9+2+2 = 13
36 = 6x6x1 avec 6+6+1 = 13
36 = 6x3x2 avec 6+3+2 = 11
36 = 4x3x3 avec 4+3+3 = 10
Lorsque la factrice indique qu'elle ne sait pas, elle indique que le numéro d'en face ne permet pas de déduire les trois nombres. D'après les décompositions ci-dessus, le numéro en face ne peut être que 13=9+2+2=6+6+1. Enfin, puisqu'il existe une fille ainée, c'est qu'il s'agit de la décomposition (9,2,2). L'ainée a donc 9 ans, et les deux autres filles ont 2 ans.
Le dernier problème est (encore) un classique, généralement connu sous le nom des cocus de Bagdad. Cependant, afin de garder une bonne morale, nous ne cocufierons personne, et nous les pendrons à la place.
Le couvent (**)
Dans un couvent de bonnes sœurs à l'écart du reste du monde, un phénomène rare fait parfois apparaitre des marques rouges à l’arrière du cou des bonnes sœurs. Tout le monde peut voir ces marques, sauf évidemment celles qui les ont. Bien que cette marque soit parfaitement inoffensive, elles sont interprétées dans ce couvent comme l’œuvre de la diablesse, et les bonnes sœurs qui apprennent qu'elles ont cette marque se pendent le soir même où elles l'apprennent. Heureusement, les sœurs ont toutes fait vœu de silence, et elles n'ont pas le droit de communiquer entre elles.
Un jour, Mère Alice, du couvent voisin (et n'ayant pas fait vœu de silence), vient visiter ce couvent qui comprend alors 20 bonnes sœurs. Lors du déjeuner, Mère Alice ne peut s’empêcher de briser la loi du silence et demande : "j'ai vu une marque rouge sur un cou, qu'est ce que c'est ?" Évidemment, personne ne répond, et Alice s’en va après le repas sans avoir la réponse à sa question.
Et puis, au matin du 7ème jour suivant sa visite, on retrouve 7 sœurs pendues dans leur cellule. Pourquoi ? Combien y avait-il de marques lors de la visite d’Alice ?
S’il y avait au moins 2 marques dans le couvent au moment de la visite de Mère Alice, chaque sœur savait qu’Alice allait voir une marque rouge. Donc a priori, Mère Alice n’apprend rien à personne en disant qu’elle a vu des marques rouges…
près la visite d’Alice, chaque sœur sait que les autres savent aussi. Voyons ce qui se passe dans les cas simples.
Supposons pour commencer que seule sœur Brigitte a une marque rouge. Dans ce cas, lorsqu’Alice dit qu’elle a vu une marque rouge, comme Brigitte n’en voit aucune, elle en déduit que c'est elle qui a une marque rouge. Elle se pendra donc la nuit de la visite, et on retrouvera 1 pendue le matin du 1er jour.
Supposons maintenant qu’il y a 2 marques rouges, sur les cous de Brigitte et de Caroline. Caroline voit la marque rouge de Brigitte, et se dit que si elle n’a pas de marque rouge, alors Brigitte sera retrouvée pendue le lendemain selon le raisonnement précédent. Mais le lendemain, comme Brigitte ne se sera pas pendue (car elle voit aussi une marque rouge), Caroline en déduira qu’elle a aussi une marque rouge. Évidemment, Brigitte fera le même raisonnement. On retrouvera donc 2 pendues le matin du 2eme jour.
En raisonnement par récurrence, on peut se convaincre que s’il y a N marques rouges, alors on retrouvera N pendues au matin du N-ème jour. Il y a avait donc 7 marques rouges lors de la visite de mère Alice.
Pour celles et ceux qui veulent plus de problèmes de ce type, je vous conseille d’aller voir ma page sur le problème de Freudenthal.
