Les biscuits dans la boîte

Ce problème m'a été posé par mon ami Ilia Smilga. Je le trouve très élégant.
Les biscuits dans la boite
Peut-on ranger 401 biscuits ronds de rayon 1 dans une boite rectangulaire de taille 4x400 ?
Évidemment, si on place les biscuits "2 par 2", on ne peut en mettre que 400. La question est donc de savoir s'il y a moyen de mieux disposer les biscuits.
La réponse est oui, et voici la solution pour mettre 337 biscuits dans une boite de taille 4x336. L'idée est de mettre les biscuits 6 par 6, en répétant la configuration suivante : En effet, tentons de calculer d sur la figure. On note \((x_A, y_A)\) les coordonnées du centre du disque \(A\), etc. On trouve directement $$ (x_A, y_A)= (1, 1) \quad \text{et} \quad (x_C, y_C)= (3,1). $$ De plus, comme les centres des cercles \(A, B, C\) forment un triangle équilatéral, on trouve $$ (x_B,y_B) = (2, 1 + \sqrt{3}). $$ On a aussi : \(y_D = 3\). Le nombre \(x_D\) est plus complexe à trouver. En écrivant que la distance \(BD\) est \(2\), on obtient le système $$ \begin{cases} (x_B - x_D)^2 + (y_B - y_D)^2 = 4 \\ y_D = 3 \end{cases} $$ ce qui donne \(x_D^2 - 4x_D + 7 - 4 \sqrt{3} = 0\), et donc \(x_D = 2 + \sqrt{4 \sqrt{3} - 3}\). En répétant ces calculs, on déduit que \(d = 2 (x_D - 1)\), et enfin \(d = 2+2\sqrt{4 \sqrt{3} - 3} \approx 5.963939\). On remarque que \(d < 6\), on a donc réussi à placer 6 biscuits sur une distance strictement plus petite que 6. Si on répète l'opération 56 fois, on place 56x6 = 336 biscuits dans une boite de longueur \(1 + 66 \times d \approx 334.98 < 335\) (le 1 vient du fait que le dernier biscuit \(F\) dépasse au dessus), et, en rajoutant un biscuit dans le coin en bas à droite, on place \(337\) biscuits dans une boite de taille \(336\).

Ce type de problème est une problème de packing. Ces problèmes sont simples à comprendre, et donnent parfois des résultats inattendus. On peut facilement créer des puzzles à partir de ce type de problème (d'ailleurs, un puzzle classique est un problème de packing, mais avec des pièces de formes différentes). Je recommande vivement ce site pour la visualisation de problèmes de packing optimaux.