Problème : Les enveloppes

Voici un de mes problèmes préférés. Il vient de mon ami Mathias, qui l'a trouvé sur le blog de David Madore.

Les enveloppes (***)
Un logicien arrive en enfer (normal, c'est un logicien !). Le diable, qui est toujours très joueur, lui tend 2 enveloppes, et lui explique : «J'ai écrit un nombre réel dans chacune de ses deux enveloppes. Les deux nombres sont différents. Tu as le droit d'en ouvrir une et de regarder le nombre à l'intérieur. Tu dois ensuite me dire si tu penses que ce nombre est plus grand ou plus petit que l'autre. Si tu trouves correctement, tu gagnes, et tu pourras aller au paradis !»
Montrer qu'il existe une stratégie pour le logicien qui lui permette d'aller au paradis avec une probabilité strictement supérieure à 1/2.

Le premier réflexe est évidemment de dire que ce n'est pas possible. Et pourtant, il existe une telle stratégie, qui est même plutôt simple (mais pas forcément simple à trouver !).

La stratégie est la suivante. Pour commencer, le logicien choisit une des deux enveloppes avec probabilité 1/2. Notons $V$ le nombre qu'il voit. Il tire ensuite un nombre réel $\omega \in \mathbb{R}$ au hasard (selon une loi de probabilité strictement positive sur $\mathbb{R}$ -une loi gaussienne par exemple). Enfin, il compare $V$ et $\omega$ : si $V \ge \omega$, il dit que son nombre est plus grand, et sinon, il dit qu'il est plus petit. Pourquoi ça marche ? On note $a < b$ les nombres choisit par le diable. Donc $V = a$ ou $V=b$ avec probabilité $1/2$. Trois cas peuvent se présenter:

Soit $\omega < a$. Dans ce cas, on a toujours $\omega < V$, et le logicien va toujours dire que son nombre est plus grand. Si $V = a$, il perd, et si $V = b$, il gagne. Donc il va au paradis avec probabilité $1/2$ exactement.
Soit $\omega \ge b$. Avec le même raisonnement, il va au paradis avec probabilité $1/2$.
Soit $a \le \omega < b$. Dans ce cas, si $V = a$, alors comme $V \le \omega$, le logicien va dire que son nombre est plus petit, et va avoir raison, et si $V = b$, alors $V > \omega$, le logicien va dire que son nombre est plus grand, et va encore avoir raison. Dans les deux cas, le logicien gagne.

Ainsi, si on note $p > 0$ la probabilité que le logicien choisisse $\omega$ dans l'intervalle $[a,b]$, le logicien va au paradis avec probabilité $$ (1-p)\frac12 + p = \frac12 + \frac{p}{2} > \frac12. $$