Voici un nombre (au plus) dénombrable de problèmes sur les ensembles dénombrables.
Ce premier problème m'a été posé par mon ami Bastien.
Les 8 (*)
On appelle 8 une courbe fermée comportant exactement un point double. Peut-on mettre un nombre indénombrable de 8 dans le plan qui sont 2 à 2 disjoints ?
La réponse est non.
En effet, pour chaque 8, on peut trouver un couple de points à coordonnées rationnelles dont le premier est dans la première boucle du 8, et le second est dans la seconde. De plus, grâce à l'hypothèse de non-croisement, un tel couple de points ne peut provenir que d'au plus un 8. On peut donc construire une injection de l'ensemble des 8 dans \(\mathbb{Q}^2 \times \mathbb{Q}^2\).
Si on remplace les 8 par des O (des boucles sans point double), alors le problème est trivial ; il suffit de considérer l'ensemble \( \{\mathcal{B}_r\}_{r > 0} \), où \( B_r := \{ x \in \mathbb{R}^2, \ | x | = r\} \).
Voici maintenant un problème dans le même esprit, mais plus classique et plus instructif. Les jeunes lecteurs pourront remplacer le terme ouvert par boule de rayon strictement positif.
Les ouvert (*)
Peut-on mettre un nombre indénombrable d'ouverts 2 à 2 disjoints dans \( \mathbb{R}^d \) ?
Non, pour la même raison. On peut trouver un point à coordonnées rationnelles dans chacune de ces boules, et on obtient un injection de l'ensemble des boules dans \( \mathbb{Q}^d \).
Un corollaire direct, et pas si simple si on ne connait pas les problèmes précédents.
Les maxima locaux (*)
Est-ce qu'une fonction \( f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} \) peut avoir un nombre indénombrable de maxima locaux stricts ?
Non. Si c'était le cas, on pourrait construire une famille indénombrable d'ouverts 2 à 2 disjoints, et se ramener au problème précédent.
