J'ai trouvé cette égalité dans un article de Vassilis Papanicolaou (Ewald’s Method Revisited: Rapidly Convergent Series Representations of Certain Green’s Functions, Lemma 3), et je l'ai trouvée très étrange. Voici l'énoncé.
Une égalité intégrale (*)
Soit \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction intégrable sur \(\mathbb{R}\). Montrer que
$$
\int_{\mathbb{R}} f(x) {\rm d} x = \int_{\mathbb{R}} f \left( x - \frac{1}{x} \right) {\rm d} x.
$$
Avant de donner la solution, voici pourquoi je trouve cette égalité étrange. En répétant cette égalité, on trouve
$$
\int_{\mathbb{R}} f(x) {\rm d} x = \int_{\mathbb{R}} f \left( x - \frac{1}{x} \right) {\rm d}x = \int_{\mathbb{R}} f\left( x + \frac{1}{x} - \frac{1}{ x + \frac{1}{x} } \right) {\rm d}x = \int_{\mathbb{R}} f \left( \frac{x^4 + x^2 +1}{x^3 + x} \right) {\rm d} x.
$$
On peut itérer le processus, et on trouvera en argument de \(f\) des fractions rationnelles de plus en plus complexes ! Par exemple, à partir du classique
$$
\int_{\mathbb{R}} \dfrac{1}{1 + x^2} {\rm d}x = {\rm arctan}(\infty) - {\rm arctan}(-\infty) = \pi,
$$
on trouve l'égalité (ridicule) suivante :
$$
\int_{\mathbb{R}} \dfrac{x^6 + 2 x^4 + x^2}{ x^8 + 3 x^6 + 5 x^4 + 3 x^2 + 1} {\rm d} x = \pi.
$$
Évidemment, il y a un truc, et il faut trouver le truc.
On commence par faire le changement de variable \(y = - \frac{1}{x}\) dans le membre de droite. On obtient $$
\int_{\mathbb{R}} f \left( x - \frac{1}{x} \right) {\rm d}x = \int_{\mathbb{R}} f \left( - \frac{1}{y} + y \right) \frac{{\rm d}y}{y^2},
$$
et donc
$$
\int_{\mathbb{R}} f \left( x - \frac{1}{x} \right) {\rm d}x = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} f \left( x - \frac{1}{x} \right) \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) {\rm d} x.
$$
On fait ensuite le changement de variable \(y = \varphi(x) := x - \frac{1}{x}\) dans le membre de droite. L'application \(\varphi\) est bijectif de \(\mathbb{R}^{+*}\) dans \(\mathbb{R}\), et bijectif de \(\mathbb{R}^{-*}\) dans \(\mathbb{R}\). On obtient
$$
\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} f \left( x - \frac{1}{x} \right) \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) {\rm d} x = \int_{\mathbb{R}} f(x) {\rm d}x,
$$
qui est l'égalité cherchée.
Dans l'article cité, l'auteur s'en sert pour démontrer l'égalité suivante :
$$
\int_{\mathbb{R}} {\rm e}^{-x^2 - \frac{1}{x^2}} {\rm d}x = \sqrt{\pi} {\rm e}^{-2}.
$$
