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Soit $p$ un tableau de taille $n\geq 1$ de Python. Si $x$ est un réel ou un tableau, la commande $\texttt{polyval(p,x)}$ retourne la valeur $$ p[0]*x**(N-1) + p[1]*x**(N-2) + ... + p[N-2]*x + p[N-1], $$ c'est à dire que cette commande retourne la valeur en $x$ du polynôme de degré $n-1$ dont les coefficients sont donnés par le vecteur $p$.
Par ailleurs, si $\texttt{x}$ est un tableau, la commande $\texttt{vander(x)}$ renvoie la matrice de Vandermonde associée à un ensemble de noeuds contenu dans $\texttt{x}$.
(a) Écrire une fonction $\texttt{lagrange(a,b,n)}$ qui retourne le tableau $p$ correspondant au polynome d'interpolation de Lagrange de degré $n$ d'une fonction $f$. Les $n+1$ points d'interpolation seront pris uniformément sur l'intervalle $[a,b]$. Le calcul de $p$ pourra se faire par résolution du système linéaire de Vandermonde résultant.
(b) Utiliser cette fonction pour construire les polynômes d'interpolation de Lagrange de la fonction sinus à noeuds équirépartis sur l'intervalle $[0,3\pi]$, avec $n=1,\dots,5$. Comparer les graphes des polynômes obtenus avec celui de la fonction donnée sur ce même intervalle.
(c) Estimer l'erreur d'interpolation $$ E_n(\sin)=\underset{x\in[0,3\pi]}{\max}|\sin(x)-\Pi_n\sin(x)|, $$ où $\Pi_n sin(x)$ est le polynome d'interpolation de degré $n$ de la fonction sinus. Représenter sur un graphe les valeurs obtenues en fonction de $n$, pour $n=1,\dots,30$, en utilisant la commande \texttt{semilogy}. Que se passe-t-il pour $n>23$?
(d) En observant que $|\sin^{(n)}(x)|\leq1$, $\forall n\in\mathbb{N}$ et $\forall x\in\mathbb{R}$, comparer les valeurs de l'erreur obtenues à la question précédente avec celles fournies par la majoration théorique $$ E_n(f)\leq\frac{1}{4(n+1)}\left(\frac{b-a}{n}\right)^{n+1}\underset{x\in[a,b]}{\max}|f^{(n+1)}(x)|. $$
On considère la fonction $$ f(x)=\frac{1}{1+x^2},\quad x\in[-5,5] $$ (a) Utiliser la fonction $\texttt{lagrange}$ de l'exercice précédent pour construire le polynôme d'interpolation de Lagrange $\Pi_nf$ de degré $n$, avec $n=2,4,8$ et $12$, de $f$ en des noeuds équirépartis sur $[-5,5]$ et comparer graphiquement les polynômes obtenus avec la fonction donnée.
(b) Évaluer de manière approchée l'erreur d'interpolation $$ E_n(f)=\underset{x\in[-5,5]}{\max}|f(x)-\Pi_nf(x)| $$ et représenter sur un graphe les valeurs obtenues en fonction de $n$, pour $n=1,\dots,20$. Qu'observe-t-on~?
Le phénomène précédent est appelé phénomène de Runge. Il illustre l'idée que l'interpolation avec des noeuds équidistribués n'est pas un bon choix car il mène à des instabilités qui font que l'erreur d'interpolation ne converge pas vers zéro. Ceci mène à la question du choix optimal des points d'interpolation. Il est possible de montrer que, pour l'interpolation de degré $n$, le meilleur choix est de prendre les racines du polynôme de Chebyshev $T_{n+1}$, définies par $$ x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\cos\left(\frac{2k+1}{2(n+1)}\,\pi\right),\quad \forall k\in\{0,\dots,n\},\ $$
(c) Modifier la fonction $\texttt{lagrange}$ pour que l'interpolation soit faite aux points de Chebyshev définis ci-dessus.
(d) Reprendre alors les questions (a) et (b). L'instabilité persiste-t-elle?
Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction. On souhaite approcher l'intégrale $$ I(f)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x, $$ avec des formules de quadrature de Newton--Cotes composées classiques. On évaluera l'efficacité des formules pour différentes fonctions $f$. En particulier, on souhaite observer l'influence de la régularité de la fonction sur la vitesse de convergence de la méthode.
écrire trois fonctions, ayant chacune pour paramètres d'entrée la fonction $f$, les bornes $a$ et $b$, et un nombre $m\geq1$ de subdivisions de l'intervalle $[a,b]$, calculant une approximation $I_{m,n}(f)$ de $I(f)$ respectivement par les formules de quadrature de la règle du point milieu (formule ouverte, $n=0$), de la règle du trapèze (formule fermée, $n=1$) et de la règle de Simpson (formule fermée, $n=2$) composées.
Au moyen de la commande $\texttt{semilogy}$, tracer le graphe des courbes de l'erreur $\vert I(f)-I_{m,n}(f)\vert$ de chacune de ces trois formules en fonction du nombre de sous-intervalles pour $f(x)=e^x$, $a=0$ et $b=1$. Commenter les résultats.
Reprendre la question précédente pour $f(x)=\vert 3\,x^4-1\vert$. Que constate-t-on? Comment procéder pour retrouver les ordres de convergence théoriques des formules dans ce cas?