Dérivation du modèle de Schödinger non-linéaire

La condensation de Bose-Einstein est un phénomène quantique se manifestant à très basse température pour un gaz de bosons très dilué. Initialement prédit par Satyendranath Bose pour des photons, il a été généralisé au cas des atomes par Albert Einstein en 1925. Dans cet état de la matière, toutes les particules du système occupent le même état quantique de plus basse énergie. De cette manière, le comportement global du gaz peut être prédit en résolvant un problème réduit à une seule particule, la minimisation de la fonctionnelle de Schrödinger non-linéaire. Le but de l’étude exposée dans ce mémoire est de justifier cette réduction du problème linéaire à N corps en un problème à 1 corps. La condensation ainsi prédite ne comporte initialement pas d’interaction entre particules, c’est là l’intérêt des études contemporaines sur le sujet. En effet, la condensation a aussi lieu pour des particules en interaction mais cette interaction doit être soumise à certaines hypothèses de régularité et ne doit pas être trop grande. Le potentiel d’interaction w est souvent considérée positif, radial, à support compact ou bien \( L^1 \) , ces dernières hypothèses sont incompatibles avec un potentiel dipolaire car ce dernier anisotrope, sans signe et d’ordre \(|x|^{−3}\) quand \( x \to \infty \). Pour effectuer cette dérivation, on suit une méthode en deux temps exposée dans qui consiste à approcher le problème à N corps tout d’abord par le modèle de Hartree via une approximation de champ moyen, puis à montrer que le modèle de Hartree est en fait proche du modèle donné par l’équation de Schrödinger non-linéaire à 1 particule. La démonstration de Lewin, Nam et Rougerie suppose \( w \in L^1\), dans ce mémoire nous l’adaptons au cas dipolaire. La première réalisation d’un condensat date de 1995 par Eric Cornell et Carl Wieman, ce qui leur valut le prix Nobel de physique en 2001. Pour cela des atomes de rubidium ont été piégés et refroidis par technique d’évaporation. Il existe plusieurs manières de piéger des particules : mise en rotation, puits de potentiel, etc. Récemment, des progrès significatifs ont été réalisés dans l’élaboration de tels condensats notamment pour les condensats dipolaires. En effet, en 2005 le premier condensat dipolaire d’atome de chrome fut réalisé expérimentalement à l’Université de Stuttgart. En 2011, un condensat de dyprosium, dont les interactions dipole-dipole sont plus fortes que celles du chrome, a été réalisé à l’Université de Stanford.

Rapport / Présentation

blogroll

social