Limites et inégalités semi-classiques

Ce rapport traite de différentes inégalités et relations d'équivalence dont l'interprétation physique est la relation entre le monde classique et le monde quantique. En mécanique classique, les systèmes évoluent dans l'espace des phases, par exemple \( \mathbb{R}^{2d\times N}\) pour un système à \( N \) particules ayant chacune \(d\) degrés de liberté. Les observables classiques, tels que l'énergie, sont des fonctions sur l'espace de phases \( \mathcal{E}(x,p) \) pour \( {(x,p)\in\mathbb{R}^{2d\times N}} \). En mécanique quantique, un système évolue dans un espace de Hilbert \( \mathcal{H} \) (généralement \( L^2(\mathbb{R}^d)\) pour une particule) et les grandeurs quantiques, appelées observables, sont des opérateurs autoadjoints sur \( \mathcal{H} \) (application linéaire définie sur un sous-espace dense de \( \mathcal{H} \). Alors, la valeur moyenne d'un observable \( Q(A) \), dont l'équivalent classique est noté \( A \), d'un système décrit par \( \Psi \in \mathcal{H} \) sera \( (\Psi|Q(A)|\Psi) \) quand cela à un sens. On nomme première quantification l'opération \(A \to Q(A) \). Par exemple, la position \(x_j \) à pour première quantification \( Q(x_j) \) l'opérateur dans \( L^2 \) de multiplication par \( x_j \) ; l'impulsion \(p \) a pour première quantification l'opérateur \( Q(p_j)=-i\hbar\partial{x_j} \). De sorte que la position et l'énergie cinétique moyenne d'une particule libre \( \Psi\in\mathcal{H}\) sont

$$ \big< \Psi|x|\Psi \big> = \int x |\Psi(x)|^2 dx $$

$$ \big<\Psi|\frac{(-i\hbar\nabla)^2}{2m}|\Psi \big> = \frac{1}{2m}\int |\nabla\Psi(x)|^2 dx. $$

Si par exemple la particule est soumise à un potentiel \(V(x)\) de sorte que l'énergie classique de celle-ci soit \( p^2/(2m) + V(x) \), l'opérateur énergie, appelé hamiltonien, sera \( \hat{H} = \frac{(-i\hbar\nabla)^2}{2m} + V(x)\), où \( V(x) \) désigne ici l'opérateur sur \(L^2\) de multiplication par \(V(x)\). La première quantification obéit à quelques axiomes. Donnons-nous un système à \(d\) degrés de liberté décrit en mécanique classique dans l'espace des phases \( \mathbb{R}^{2d} \) et par \( L^2(\mathbb{R}^{d}) \) en mécanique quantique. Alors

  • \( A \to Q(A) \) est linéaire, \( Q(A) \) est un opérateur autoadjoint et \(Q(1) = 1_{L^2}\)
  • \( Q(x_j) \) est l'opérateur de multiplication par \(x_j \)
  • \( Q(p_j) \) est l'opérateur \(-i\hbar\partial{x_j} \)
  • \( \lim_{\hbar\to0} \big( \frac{i}{\hbar} [Q(A),Q(B)] - Q(P(A,B)) \big)= 0 \), où \([A,B]\) est le commutateur de \(A\) et \(B\) et \( P(A,B) = \nabla_x A \cdot \nabla_p B - \nabla_x B \cdot \nabla_p A \) est le crochet de Poisson de \(A \) et \(B \).

Cependant, ces règles ne déterminent pas totalement la quantification d'un observable classique, que dire de \( \widehat{f(x)g(p)} \) ? Il faut choisir entre \( \widehat{f(x)}\widehat{g(p)} \), \(\widehat{g(p)}\widehat{f(x)} \) ou encore d'autres. Le dernier axiome impose à ces choix d'être équivalents à la limite semi-classique, c'est-à-dire quand \(\hbar\) est petit devant les autres constantes physiques. Ce n'est néanmoins pas tout le temps le cas, et cela explique parfois la fausseté des modèles classiques. On verra que les deux opérateurs principaux vérifient une relation de commutation\( [x,-i\hbar\nabla] = i \hbar Id \) et que l'on peut interpréter le régime semi-classique comme la commutation à la limite de ces deux opérateurs. Alors, on remarquera que le formalisme développé pourra être utilisé pour résoudre une classe plus large de problèmes dans lesquels interviennent deux opérateurs commutant à la limite.

Dans l'interprétation semi-classique l'espace des phases \( \mathbb{R}^{2d}\) est compartimenté en volumes de taille \((2\pi \hbar)^d\) pouvant chacun être occupé par un état quantique. Et pour une fonction \( F \) et un observable classique \( a \), on voit \( tr(F(Q(a))) \) comme étant proche à la limite semi-classique de

$$ (2\pi\hbar)^{-d}\iint F(a(x,p)) dx dp .$$

On démontrera trois inégalités de ce type : Kato-Seiler-Simon, Golden-Thompson (celles-ci sont exactes, c'est-à-dire que la quantité classique est plus grande que la quantité quantique) et Lieb-Thirring (qui est inexacte dans le sens où il faut rajouter une constante multiplicative).

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