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| | ===== Prochaine séance ===== |
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| | * Vendredi **6 avril** |
| | * 10h30-12h00: mini cours par **[[http://www.proba.jussieu.fr/dw/doku.php?id=users:benhamou:index|Anna Ben Hamou]]** //Temps de mélange de marches aléatoires sur des graphes aléatoires\\ //Dans ce mini-cours, nous commencerons par rappeler la notion de temps de mélange d’une chaîne de Markov et introduirons le phénomène de cutoff, qui décrit une convergence très abrupte à l’équilibre: la distance (en variation totale) entre la loi de la chaîne et la probabilité stationnaire reste très proche de 1 jusqu’au temps de mélange puis chute abruptement de 1 à 0 en un temps bien plus petit, appelé la fenêtre du cutoff. Etablir le cutoff pour une chaîne donnée requiert souvent une analyse extrêmement fine de la chaîne, et il existe assez peu de résultats généraux permettant par exemple d’exhiber des grandes classes de graphes sur lesquels la marche aléatoire présente le cutoff. On peut alors se demander ce qu’il se passe sur un graphe « typique ». Nous considérerons d’abord le cas des graphes aléatoires réguliers, puis le cas plus général des graphes aléatoires à suite de degrés prescrits, et montrerons qu’avec forte probabilité, la marche aléatoires sur de tels graphes présente le phénomène de cutoff. Nous décrirons précisément son temps de mélange, ainsi la fenêtre de cutoff.\\ |
| | * 14h00-15h15: **[[https://www.ceremade.dauphine.fr/~labbe/|Cyril Labbé]]** //Localisation de l'hamiltonien d’Anderson en dimension 1\\ //On considère l’opérateur obtenu en perturbant le Laplacien par un bruit blanc, sur un segment de taille L. Cet opérateur, appelé hamiltonien d’Anderson, est la limite d’échelle de modèles simples de matrices aléatoires, et joue un rôle important dans l’étude du modèle d’Anderson parabolique. Dans ce travail, nous nous intéressons au comportement asymptotique (quand L tend vers l’infini) du bord du spectre de cet opérateur. Nous obtenons la convergence des plus petites valeurs propres vers un processus de Poisson ponctuel d’intensité explicite et établissons un phénomène de localisation des vecteurs propres correspondants. Travail en collaboration avec Laure Dumaz (Dauphine).\\ |
| | * 15h15-16h30: **[[http://www.scoste.fr/|Simon Coste]]** //Le théorème de la deuxième valeur propre d'Alon-Friedman\\ //Dans cet exposé, on s'intéressera au spectre de grands graphes aléatoires d-réguliers. Lorsque la taille d'un tel graphe G tend vers l'infini, le graphe converge vers l'arbre infini d-régulier T et la mesure spectrale de G converge vers celle de T, qui est connue : c'est la loi de Kesten-McKay, supportée par l'intervalle [-2sqrt(d-1), +2sqrt(d-1)]. Cependant, cette convergence est globale et n'apporte pas d'informations sur le comportement de certaines valeurs propres particulières de G. En particulier, la deuxième valeur propre est d'importance capitale puisqu'elle gouverne la vitesse de convergence de la marche aléatoire simple sur G vers sa loi stationnaire. La borne classique d'Alon-Boppana dit que cette deuxième valeur propre est plus grande que 2sqrt(d-1) ; cependant, en 1986, Alon a conjecturé que la plupart des graphes d-réguliers avaient une deuxième valeur propre très proche de cette borne 2sqrt (d-1). Cette conjecture s'est révélée très difficile et ne fut démontrée qu'en 2005. On présentera ce résultat ainsi qu'une généralisation à des graphes non-réguliers dirigés.\\ |
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| ===== Exposés 2017-2018 ===== | ===== Exposés 2017-2018 ===== |
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| * Vendredi **6 avril** | * Vendredi **6 avril** |
| * 10h30-12h00: mini cours par **[[http://www.proba.jussieu.fr/dw/doku.php?id=users:benhamou:index|Anna Ben Hamou]]** | * 10h30-12h00: mini cours par **[[http://www.proba.jussieu.fr/dw/doku.php?id=users:benhamou:index|Anna Ben Hamou]]** //Temps de mélange de marches aléatoires sur des graphes aléatoires\\ // |
| * 14h30-15h45: **[[https://www.ceremade.dauphine.fr/~labbe/|Cyril Labbé]]** // \\ // | * 14h00-15h15: **[[https://www.ceremade.dauphine.fr/~labbe/|Cyril Labbé]]** //Localisation de l'hamiltonien d’Anderson en dimension 1\\ // |
| | * 15h15-16h30: **[[http://www.scoste.fr/|Simon Coste]]** //Le théorème de la deuxième valeur propre d'Alon-Friedman \\ // |
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| * Vendredi **11 mai** | * Vendredi **11 mai** |