Alignement de particules autopropulsées et transition de phase.

Le modèle typique est celui d’une densité $f(t,x,v)$ de particules de position $x$ (dans $ℝ^d$ ou un tore plat de dimension $d$) et se déplaçant à vitesse constante $v∈𝕊$ (la sphère unité de $ℝ^d$), soumises à une force d’alignement sur la vitesse moyenne (locale en espace), et à du bruit angulaire. L’équation cinétique d’évolution a la forme suivante

où $\mathbb{J}_f=∫_{𝕊}f \mathrm{d} v$ est le vecteur, et où les opérateurs en $v$ sont à prendre comme le gradient, la divergence et l’opérateur de Laplace–Beltrami sur la sphère. Le fait que l’alignement soit quadratique (interactions par paires) et la diffusion angulaire linéaire en $f$ implique un phénomène de transition de phase en fonction de la densité locale $ρ=∫_{𝕊}f\mathrm{d} v$.

Pour la version homogène en espace, on sait décrire précisément cette transition de phase (c’est l’objet d’un travail de ma thèse, en collaboration avec Jian-Guo Liu) : lorsque $ρ⩽d$, le bruit domine, et la solution converge vers l’état isotrope en vitesse. Mais lorsque $ρ>d$, cet état devient instable et une famille d’équilibres stables apparaît : des distributions de von Mises $M_{κ(ρ)Ω}$ où $Ω∈𝕊$ et $κ(ρ)$ est un paramètre de concentration, qui augmente avec $ρ$.

Pour le cas inhomogène, cela se complique déjà beaucoup, ces équilibres (homogènes en espace) semblent devenir instables, on observe l’apparition de bandes de propagation par exemple (ici sur le tore à deux dimensions, ne dépendant que d’une des variables d’espace).

Nous avons néanmoins prouvé avec Émeric Bouin que lorsque la densité est en-dessous du seuil critique, l’équilibre homogène et isotrope est stable (avec des outils d’hypocoercivité, à la fois sur le tore et sur tout l’espace).

Si on regarde la limite d’échelle macroscopique de cette équation, en faisant un changement d’échelle hydrodynamique $(t,x,v)↦(\frac{t}ε,\frac{x}{ε},v)$, on peut dériver (formellement, pour $ρ>d$) une équation macroscopique liant la densité locale $ρ$ au vecteur d’alignement local $Ω$ :

C’est le système dit SOH pour Self-Organized Hydrodynamics, qui apparaît comme limite naturelle d’un grand nombre de modèles d’alignement de particules autopropulsées. Pour le modèle avec transition de phase présenté ici, nous avons observé avec Pierre Degond et Jian-Guo Liu que le système SOH obtenu n’est pas hyperbolique, et étudié des variantes du modèle qui font changer le type de transition de phase, en lien avec l’hyperbolicité du modèle fluide.

Je m’intéresse à d’autres variantes de ce modèle :

• lorsque la variable cinétique n’est plus simplement la vitesse mais toute l’orientation de l’individu (un élément de $SO_3(ℝ)$), dans des travaux avec Pierre Degond, Antoine Diez, Sara Merino, Ariane Trescases. L’étude de la transition de phase pour le modèle homogène fait apparaître un lien avec des modèles de polymères en dimension 4 (via les quaternions unitaires), et le système SOH se généralise en un système plus complexe faisant intervenir la rotation propre de l’orientation moyenne.

• lorsque l’espace n’est plus le tore plat, mais une autre variété. Avec Antoine Diez et Sébastien Motsch, un projet en cours est la simulation de très grand nombre de particules, par GPU, sur la sphère et la surface de Bolza (à courbure négative). L’objectif initial, sur la sphère, était de contrer les phénomènes de résonance du tore plat, pour obtenir un modèle dans lequel aucune direction n’est privilégiée par la géométrie du domaine. S’ajoute alors un phénomène d’agrégation ou répulsion lié à la courbure : en courbure positive (resp. négative), les géodésiques de particules alignées se rapprochent (resp. s’éloignent).

Alignement « par saut », lien avec des modèles de dynamique de populations sexuées et d’alignement de myxobactéries.

Un autre modèle typique d’alignement est le modèle BDG (de Bertin, Droz et Grégoire), où des paires de particules choisies aléatoirement prennent toutes deux leur vitesse moyenne (leurs vitesses initiales étant vues comme deux points sur la sphère, elles prennent comme vitesse finale le milieu de la géodésique joignant ces deux points).

La version homogène en espace peut s’écrire sous la forme d’une équation intégro-différentielle

où $K$ est le noyau de saut au point milieu. Comme souvent avec ces modèles à contraintes géométriques, il n’y a pas de conservation de centre de masse qui pourrait aider à comprendre le comportement en temps long. Avec Pierre Degond et Gaël Raoul, nous avons montré la stabilité asymptotique des masses de Dirac pour ce modèle (en distance de Wasserstein $W_2$ sur la sphère), et généralisé à une variété Riemannienne à la place de la sphère.

Il se trouve que ce modèle de saut au point milieu (homogène en espace) peut aussi être interprété en terme de dynamique de population sexuée, où les vitesses sont remplacées par un trait phénotypique, la descendance de deux individus ayant pour trait la moyenne de ses parents. Lorsqu’on ajoute un taux de mortalité variable selon le trait, on obtient le modèle infinitésimal de Fisher sans variabilité. La difficulté est que l’on perd de nouveau la conservation du centre de masse. Avec Cécile Taing nous avons également obtenu la stabilité de masses de Dirac, et compris l’apparition de profils auto-similaires à queue lourde en temps long.

Enfin ce modèle d’alignement par saut au point milieu a aussi été étudié en combinaison avec un processus de retournement pour la modélisation du mouvement de myxobactéries (de forme allongée). Avec Laura Kanzer et Christian Schmeiser, nous avons étudié isolément la partie retournement seul. Et avec Laura Kanzler et Cécile Taing, nous travaillons actuellement sur la combinaison des deux effets, pour lesquels nous avons maintenant les moyens de comprendre plus finement le comportement en temps long (en particulier pour le comportement auto-similaire).