GDR Mathématiques des Systèmes Perceptifs et Cognitifs

GDR ANOFOR

Optimisation de Formes et Analyse d'Images

Le 28 juin 2005 de 9H à 18H –Université Paris Dauphine (comment s'y rendre) – Amphi 6

Organisateurs : Antoine HENROT et Laurent COHEN

FORMULAIRE D'INSCRIPTION ------------ LISTE DES INSCRITS

Programme de la journée

Afin d'éviter toute confusion, rappelons que l'Optimisation de formes est un domaine de l'analyse numérique qui est indépendant du traitement d'images. Le but de la réunion est de faire une rencontre entre les deux communautés dans la mesure ou certaines techniques d'optimisation de formes ont déjà eu des applications en analyse d'images.

Résumés

UNE BRÈVE REVUE DE L'OPTIMISATION DE FORMES GÉOMÉTRIQUE ET TOPOLOGIQUE
Transparents
Grégoire ALLAIRE 
Centre de Mathématiques Appliquées
Ecole Polytechnique
91128 Palaiseau, France
On propose de faire une br\`eve revue de r\'esultats anciens ou plus
r\'ecents sur l'optimisation de formes, plus particuli\`erement
dans le contexte de l'optimisation de structures m\'ecaniques.
Les m\'ethodes d'optimisation de formes peuvent \^etre class\'ees
en deux grandes cat\'egories: optimisation g\'eom\'etrique et
optimisation topologique.

L'optimisation g\'eom\'etrique de formes consiste \`a faire
varier la position des fronti\`eres de la forme. Elle repose
sur la m\'ethode d'Hadamard qui permet de calculer
des d\'eriv\'ees par rapport au domaine.

L'optimisation topologique de formes est un domaine beaucoup
plus r\'ecent o\`u l'on optimise non seulement les fronti\`eres
mais aussi la topologie de la forme est aussi optimis\'ee (on
peut cr\'eer de nouvelles fronti\`eres ou en
faire dispara\^{\i}tre).

Apr\`es avoir pr\'esent\'e la m\'ethode classique d'optimisation
g\'eom\'etrique par d\'eformation de maillage, je pr\'esenterai
une impl\'ementation num\'erique r\'ecente \`a l'aide de la
m\'ethode des lignes de niveaux d'Osher et Sethian qui permet
de faire le lien avec l'optimisation topologique.
Je discuterai aussi de deux autres m\'ethodes d'optimisation topologique.
Tout d'abord, la m\'ethode d'homog\'en\'eisation qui optimise une densit\'e
de mat\'eriau composite et qui est une relaxation ``rigoureuse''
du probl\`eme, mal-pos\'e, d'optimisation de formes.
Ensuite, la notion de gradient topologique qui teste
l'int\'er\^et, ou non, d'introduire des trous microscopiques
dans la forme.

Tutorial introduction à l'Optimisation de Forme : existence et stabilité des solutions

Dorin Bucur, Metz,

page web : http://www.math.univ-metz.fr/~bucur

Un problème générique d'optimisation de formes s'écrit formellement:
$$\min {J(\Omega) : \Omega admissible}. $$
Dans les problèmes que l'on considère, la fonctionnelle coût $J$ dépend de l'ouvert
$\Omega$ via la solution d'une équation aux dérivées partielles posée sur
$\Omega$ ou le spectre d'un opérateur différentiel.

Sur quelques exemples de problèmes d'optimisation de formes, nous
discuterons des questions d'existence et de stabilité de la solution.

Tutorial Problèmes de Vision Par Ordinateur

Transparents

Olivier Faugeras, INRIA,

Méthodes d'optimisation de formes appliquées à la méthode du Serpent :

Transparents

Olivier Wilk et Philippe Destuynder– Maths/Cnam

page web : http://www.cnam.fr/maths/Membres/wilk/ ,

Demo : http://www.cnam.fr/maths/Membres/wilk/TI-EDP_Film.gif .

Les méthodes de contours actifs (Snakes ou Serpent) permettent de détecter et de vectoriser les contours. Les méthodes Snakes fonctionnent en minimisant "l'énergie" du Snake complétée d'une fonction "objectif-image" locale par l'évolution de la forme du Snake. Il faut souvent y ajouter un contrôle de la longueur du Snake pour éviter que celui "tombe" dans un piège. La méthode du Serpent se différencie en minimisant en fonction de la forme  $ \Gamma $ du Serpent la fonction $ J(u_{\Gamma}) $ avec $ J(u) = \min_{v \in H_0^1(\Omega)} J(v) $ où $ J(v)= \frac{1}{2} \int_{\Omega_\Gamma} (v-f)^2 d\Omega + \frac{\varepsilon}{2} \int_{\Omega_\Gamma} |\nabla v|^2 d\Omega $. On peut noter la prise en compte globale de l'image $ f $. Il n'est pas aussi utile d'y ajouter une fonction minimisant la longueur, le Serpent évitant naturellement le piège du Snake. Dans notre exposé, nous détaillerons en particulier la manière de calculer efficacement le gradient de J en fonction de $ \Gamma $.

Champs de Markov binaires et minimisation de la variation totale

Antonin Chambolle
Résumé : nous explicitons les liens entre le problème de Rudin-Osher-Fatemi (minimisation de la variation totale + rappel quadratique) et les problèmes de type champ de Markov binaire (en
continu, minimisation du périmètre + terme de volume). Nous montrons
comment les méthodes mises au point pour minimiser de tels champs
de Markov (exactes lorsque les paramètres sont entiers), peuvent
être alors adaptées pour résoudre le problème de R-O-F.

De CAD a level set en passant par CAD-Free
Transparents
Bijan Mohammadi, Montpellier

On présente notre experience en optimisation de formes et les étapes que
nous avons eu a franchir. On presentera une modelisation
de l'optimisation globale par solution de problemes a valeurs au limites
et son analogie avec la solution d'un probleme de Stefan. On fera le lien
avec les methodes de deplacements de frontieres dans l'approche level
set. On montre comment les ingredients developpes pour la gestion de la
regularite en parametrisation CAD-Free peut servir en level set.
Les differents ingredients seront illustres par des experiences
numeriques.

Utilisation du gradient de forme en segmentation

Transparents

Eric Debreuve, I3S

La presentation proposera un cadre dans lequel le gradient de forme apporte une solution simple en segmentation d'image et de video. La question de l'implementation sera egalement abordee.

A Mumford-Shah like model for the inversion of tomography and SPECT data

Transparents

Wolfgang Ring, Graz,

Moyennes et statistiques de formes

Transparents.pdf Version complete avec demos

Guillaume Charpiat, ENS

La segmentation d'images consiste à trouver le contour d'un objet dans une image, de façon automatisée. La connaissance d'un a priori sur la forme à rechercher peut s'avérer très utile. Pour construire un tel a priori, on a besoin d'avoir préalablement défini ce qu'est la "forme moyenne" d'un ensemble de formes, ainsi que les modes de déformations caractéristiques associés. Et pour cela, on a besoin de savoir recaler des formes entre elles. L'exposé portera donc tout d'abord sur le recalage de formes (via la minimisation d'une fonctionnelle par descente de gradient), puis sur les moyennes et statistiques de formes, puis sur la segmentation avec a priori. On étendra les notions de statistiques des courbes planes aux images, et on s'étendra un peu sur la notion de produit scalaire afin d'améliorer les descentes de gradient pour qu'elles évitent un certain nombre de minima locaux. Le tout agrémenté d'exemples.